设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中其侧面满足方程z=(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多长时间?

admin2018-12-29 36

问题设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中其侧面满足方程z=

(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多长时间?

选项

答案设t时刻雪堆的体积为V(t)，侧面积为S(t)。先求S(t)与V(t)的表达式。侧面方程是z=h(t)—[*]。求偏导有， [*] 其中D_xy：x²+y²≤[*]。作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则 [*] 其中D(z)：[*]，即x²+y²≤[*]。 [*] 体积减少的速度是[*]，它与侧面积成正比(比例系数为0．9)，即[*]。将V(t)与S(t)的表达式代入得 [*] 解得h(t)=[*]。令h(t)=0，得t=100。因此，高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。

解析

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考研数学一

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设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中其侧面满足方程z=(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多长时间?

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