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  3. 求证：当χ＞0时，不等式ln(e2χ＋χ)＞3χ－χ2成立．

求证：当χ＞0时，不等式ln(e2χ＋χ)＞3χ－χ2成立．

admin2018-06-12  23
问题 求证：当χ＞0时，不等式ln(e2χ＋χ)＞3χ－χ2成立．
选项
答案令f(χ)＝ln(e2χ＋χ)－3χ＋[*]χ2只需证明当χ＞0时f(χ)＞0成立． 由于f(0)＝0，且 [*] 在f′(χ)的分子中5χ2＋3χ(e2χ－1)＞0当χ＞0时成立，而分母e2χ＋χ＞0当χ＞0时也成立，故若g(χ)＝1＋2χe2χ－e2χ＞0当χ＞0时还成立，即得f′(χ)＞0当χ＞0时成立，于是f(χ)当χ≥ 0时单调增加[*]当χ＞0时f(χ)＞f(0)＝0成立，即不等式成立得证． 由于g(0)＝0，g′(χ)＝4χe2χ＞0对[*]χ＞0成立，故g(χ)在χ≥0单调增加，即g(χ)＞g(0)＝0当χ＞0时成立． 综合即得原不等式在χ＞0成立．
解析
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考研数学一

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