求证：当χ＞0时，不等式ln(e2χ＋χ)＞3χ－χ2成立．

admin2018-06-12 35

问题求证：当χ＞0时，不等式ln(e^2χ＋χ)＞3χ－

χ²成立．

选项

答案令f(χ)＝ln(e^2χ＋χ)－3χ＋[*]χ²只需证明当χ＞0时f(χ)＞0成立．由于f(0)＝0，且 [*] 在f′(χ)的分子中5χ²＋3χ(e^2χ－1)＞0当χ＞0时成立，而分母e^2χ＋χ＞0当χ＞0时也成立，故若g(χ)＝1＋2χe^2χ－e^2χ＞0当χ＞0时还成立，即得f′(χ)＞0当χ＞0时成立，于是f(χ)当χ≥ 0时单调增加[*]当χ＞0时f(χ)＞f(0)＝0成立，即不等式成立得证．由于g(0)＝0，g′(χ)＝4χe^2χ＞0对[*]χ＞0成立，故g(χ)在χ≥0单调增加，即g(χ)＞g(0)＝0当χ＞0时成立．综合即得原不等式在χ＞0成立．

解析

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考研数学一

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