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求证:当χ>0时,不等式ln(e2χ+χ)>3χ-χ2成立.
求证:当χ>0时,不等式ln(e2χ+χ)>3χ-χ2成立.
admin
2018-06-12
37
问题
求证:当χ>0时,不等式ln(e
2χ
+χ)>3χ-
χ
2
成立.
选项
答案
令f(χ)=ln(e
2χ
+χ)-3χ+[*]χ
2
只需证明当χ>0时f(χ)>0成立. 由于f(0)=0,且 [*] 在f′(χ)的分子中5χ
2
+3χ(e
2χ
-1)>0当χ>0时成立,而分母e
2χ
+χ>0当χ>0时也成立,故若g(χ)=1+2χe
2χ
-e
2χ
>0当χ>0时还成立,即得f′(χ)>0当χ>0时成立,于是f(χ)当χ≥ 0时单调增加[*]当χ>0时f(χ)>f(0)=0成立,即不等式成立得证. 由于g(0)=0,g′(χ)=4χe
2χ
>0对[*]χ>0成立,故g(χ)在χ≥0单调增加,即g(χ)>g(0)=0当χ>0时成立. 综合即得原不等式在χ>0成立.
解析
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考研数学一
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