设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变．)

admin2014-08-19 47

问题设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变．)

选项

答案【分析与求解一】把球的质量[*]集中到球心．球从水中取出作功问题可以看成质量为[*]的质点向上移动距离为1时变力所作的功．问题归结为求出变力，即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力．因球的比重为1，所以球受的重力=球的体积，球受的浮力=沉在水中部分的体积，它们的合力=球露出水面部分的体积．当球心向上移动距离h时(02)dx，在水中浮力与重量相等．当球从水中取出时，此薄片移至离水面高为(1+x)处需作功dW=(1+x)π(1一x²)dx．于是，对下半球作的功为[*]任取上半球中的微元薄片即[0，1]上小区间[x，x+dx]相应的球体中的薄片，其重量为π(1一x²)．当球从水中取出时，它移动的距离为1，需作功dW=π(1一x²)dx．于是对上半球作的功为[*]因此，对整个球作的功[*] [*]

解析

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考研数学二

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