设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变.)

admin2014-08-19  56

问题 设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变.)

选项

答案【分析与求解一】把球的质量[*]集中到球心.球从水中取出作功问题可以看成质量为[*]的质点向上移动距离为1时变力所作的功.问题归结为求出变力,即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力.因球的比重为1,所以球受的重力=球的体积,球受的浮力=沉在水中部分的体积,它们的合力=球露出水面部分的体积.当球心向上移动距离h时(02)dx,在水中浮力与重量相等.当球从水中取出时,此薄片移至离水面高为(1+x)处需作功dW=(1+x)π(1一x2)dx.于是,对下半球作的功为[*]任取上半球中的微元薄片即[0,1]上小区间[x,x+dx]相应的球体中的薄片,其重量为π(1一x2).当球从水中取出时,它移动的距离为1,需作功dW=π(1一x2)dx.于是对上半球作的功为[*]因此,对整个球作的功[*] [*]

解析
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