2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝2ax1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，该二次型的矩阵为A，且Aα0＝α0． (Ⅰ)求a，b，c； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

设二次型f(x1，x2，x3)＝2ax1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，该二次型的矩阵为A，且Aα0＝α0． (Ⅰ)求a，b，c； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

admin2021-03-10  50
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝2ax1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，该二次型的矩阵为A，且Aα0＝α0．
(Ⅰ)求a，b，c；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)由题知，A＝[*]，f＝XTAX， 由Aα0＝α0，得[*] 从而[*]解得a＝1，b＝1，c＝－1， (Ⅱ)由(Ⅰ)得A＝[*] 由｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋2)(λ－1)2＝0得λ1＝－2，λ2＝λ3＝1． 由－2E－A→2E＋A＝[*]得λ1＝－2对应的线性无关的特征向量为α1＝[*] 由E－A＝[*]得λ2＝λ3＝1对应的线性无关的特征向量为α2＝[*] 令β1＝α1＝[*]， β2＝α2＝[*]，β3＝α3－[*] 单位化得 [*]
解析
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考研数学二

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