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设f(χ)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的χ,y∈[a,b],有 |f(χ)-f(y)|≤M|χ-y|k. (1)证明:当k>0时,f(χ)在[a,b]上连续; (2)证明:当k>1时,f(χ)≡常数.
设f(χ)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的χ,y∈[a,b],有 |f(χ)-f(y)|≤M|χ-y|k. (1)证明:当k>0时,f(χ)在[a,b]上连续; (2)证明:当k>1时,f(χ)≡常数.
admin
2019-08-23
56
问题
设f(χ)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的χ,y∈[a,b],有
|f(χ)-f(y)|≤M|χ-y|
k
.
(1)证明:当k>0时,f(χ)在[a,b]上连续;
(2)证明:当k>1时,f(χ)≡常数.
选项
答案
(1)对任意的χ
0
∈[a,b],由已知条件得 0≤|f(χ)-f(χ
0
)|≤M|χ-χ
0
|
k
,[*]f(χ)=f(χ
0
), 再由χ
0
的任意性得f(χ)在[a,b]上连续. (2)对任意的χ
0
∈[a,b],因为k>1, 所以0≤[*]≤M|χ-χ
0
|
k-1
,由夹逼定理得f′(χ
0
)=0,因为χ
0
是任意一点,所以f′(χ)≡0,故f(χ)≡常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YIA4777K
0
考研数学二
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