2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有 ｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k． (1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续； (2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．

设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有 ｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k． (1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续； (2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．

admin2019-08-23  89
问题 设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有
    ｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k．
    (1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续；
    (2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．
选项
答案(1)对任意的χ0∈[a，b]，由已知条件得 0≤｜f(χ)－f(χ0)｜≤M｜χ－χ0｜k，[*]f(χ)＝f(χ0)， 再由χ0的任意性得f(χ)在[a，b]上连续． (2)对任意的χ0∈[a，b]，因为k＞1， 所以0≤[*]≤M｜χ－χ0｜k-1，由夹逼定理得f′(χ0)＝0，因为χ0是任意一点，所以f′(χ)≡0，故f(χ)≡常数．
解析
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考研数学二

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