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  3. 求证：任给向量α，β，(α，β)=0对任意的λ，都有‖α+λβ‖≥‖α‖．

求证：任给向量α，β，(α，β)=0对任意的λ，都有‖α+λβ‖≥‖α‖．

admin2020-09-25  71
问题 求证：任给向量α，β，(α，β)=0对任意的λ，都有‖α+λβ‖≥‖α‖．
选项
答案必要性[*]：若(α，β)=0，则 ‖α+λβ‖2=(α+λβ，α+λβ)=(α，α)+2λ(α，β)+λ2(β，β)，‖α‖2=(α，α)． 因此‖α+λβ‖2一‖α‖2=λ2(β，β)≥0，即‖α+λβ‖≥‖α‖． 充分性[*]：若对任意λ都有‖α+λβ‖≥‖α‖，则对任意λ，都有2λ(α，β)+λ2(β，β)≥0． 当β=0时，(α，β)=0显然成立． 当β≠0时，我们取[*]又因为(α，β)2≥0，(β，β)＞0，所以有[*]因此(α，β)=0．
解析
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考研数学三

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