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求证:任给向量α,β,(α,β)=0对任意的λ,都有‖α+λβ‖≥‖α‖.
求证:任给向量α,β,(α,β)=0对任意的λ,都有‖α+λβ‖≥‖α‖.
admin
2020-09-25
91
问题
求证:任给向量α,β,(α,β)=0
对任意的λ,都有‖α+λβ‖≥‖α‖.
选项
答案
必要性[*]:若(α,β)=0,则 ‖α+λβ‖
2
=(α+λβ,α+λβ)=(α,α)+2λ(α,β)+λ
2
(β,β),‖α‖
2
=(α,α). 因此‖α+λβ‖
2
一‖α‖
2
=λ
2
(β,β)≥0,即‖α+λβ‖≥‖α‖. 充分性[*]:若对任意λ都有‖α+λβ‖≥‖α‖,则对任意λ,都有2λ(α,β)+λ
2
(β,β)≥0. 当β=0时,(α,β)=0显然成立. 当β≠0时,我们取[*]又因为(α,β)
2
≥0,(β,β)>0,所以有[*]因此(α,β)=0.
解析
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考研数学三
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