设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，F(t)=t∫01［f(tx)-f(x)］dx，则F(t)在(0，1)内( )

admin2022-05-20 36

问题设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，F(t)=t∫₀¹［f(tx)-f(x)］dx，则F(t)在(0，1)内( )

选项 A、单调减少
B、单调增加
C、有极大值
D、有极小值

答案C

解析令tx=u，则当x=0时，u=0；当x=1时，u=t，dx=du/t，故
t∫₀¹f(tx)dx=t∫₀^tf(u)·1/t·du=∫₀^tf(u)du，
从而
F(t)=∫₀^tf(u)du-t∫₀¹f(x)dx，
于是
F’(t)=f(t)-∫₀¹f(x)dx．
由积分中值定理，可知存在一点ξ∈(0，1)，使得∫₀¹f(x)dx=f(ξ)，故
F’(t)=f(t)-f(ξ)．
又由闭区间上连续函数的零点定理，可知必有一点t₀=ξ∈(0，1)，使得
F’(t₀₀)-f(ξ)=0．
当t＞t₀时，因为f(x)单调减少，所以f(t)＜f(t₀)，从而F’(t)＜0．
当t＜t₀时，有F’(t)＞0．故t₀为F(x)的极大值点．C正确．

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考研数学三

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[*]

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Atattoomaygiveparentsofchildrenwithfoodallergiessomepeaceofmindwhentheysendtheirkidsofftoschool.Yes,atat

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