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设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，F(t)=t∫01［f(tx)-f(x)］dx，则F(t)在(0，1)内( )
设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，F(t)=t∫01［f(tx)-f(x)］dx，则F(t)在(0，1)内( )
admin
2022-05-20
33
问题
设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，F(t)=t∫
0
1
［f(tx)-f(x)］dx，则F(t)在(0，1)内( )
选项
A、单调减少
B、单调增加
C、有极大值
D、有极小值
答案
C
解析
令tx=u，则当x=0时，u=0；当x=1时，u=t，dx=du/t，故
t∫
0
1
f(tx)dx=t∫
0
t
f(u)·1/t·du=∫
0
t
f(u)du，
从而
F(t)=∫
0
t
f(u)du-t∫
0
1
f(x)dx，
于是
F’(t)=f(t)-∫
0
1
f(x)dx．
由积分中值定理，可知存在一点ξ∈(0，1)，使得∫
0
1
f(x)dx=f(ξ)，故
F’(t)=f(t)-f(ξ)．
又由闭区间上连续函数的零点定理，可知必有一点t
0
=ξ∈(0，1)，使得
F’(t
00
)-f(ξ)=0．
当t＞t
0
时，因为f(x)单调减少，所以f(t)＜f(t
0
)，从而F’(t)＜0．
当t＜t
0
时，有F’(t)＞0．故t
0
为F(x)的极大值点．C正确．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UUR4777K
0
考研数学三
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