已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。

admin2019-01-19 64

问题已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)|x²+

≤1}上的最大值和最小值。

选项

答案根据题意可知[*]=一2y，于是f(x，y)=x²+C(y)，且 C＇(y)=一2y，因此有C(y)=一y²+C，由f(1，1)=2，得C=2，故 f(x，y)=x²一y²+2。令[*]=0得可能极值点为x=0，y=0。且 A=[*]=一2． Δ=B²一AC=4>0，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线x²+[*]=1上的情形，令拉格朗日函数为 F(z，y，λ)=f(x，y)+λ(x²+[*]一1)，解 [*] 得可能极值点x=0，y=2，λ=4；x=0,y=一2，λ=4；x=1，y=0，λ=一1；x=一1，y=0，λ=一1。将其分别代入f(x，y)得f(0，±2)=一2,f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在区域D={(x， y)|x²+[*]≤1}内的最大值为3，最小值为一2。

解析

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考研数学三

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