设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且 (I)求A的所有特征值与特征向量． (II)求矩阵A．

admin2016-04-11 45

问题设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且

(I)求A的所有特征值与特征向量．
(II)求矩阵A．

选项

答案(I)由于A的秩为2，故O是A的一个特征值．由题设可得 [*] 所以，一1是A的一个特征值，且属于一1的特征向量为k₁(1，0，一1)^T，k₁为任意非零常数；1也是A的一个特征值，且属于1的特征向量为k₂(1，0，1) ^T，k₂为任意非零常数．设x=(x₁，x₂，x₃)^T为A的属于0的特征向量，由于A为实对称矩阵，A的属于不同特征值的特征向量相互正交，则 [*] 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0)^T，于是属于0的特征向量为k₃(0，1，0)^T，其中k₃为任意非零常数． (Ⅱ) [*]

解析

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考研数学一

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设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且 (I)求A的所有特征值与特征向量． (II)求矩阵A．

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