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设有二阶线性微分方程 (1一x2)+y=2x (Ⅰ)作自变量替换x=sint(—),把方程变换成y关于t的微分方程. (Ⅱ)求原方程的通解.
设有二阶线性微分方程 (1一x2)+y=2x (Ⅰ)作自变量替换x=sint(—),把方程变换成y关于t的微分方程. (Ⅱ)求原方程的通解.
admin
2018-11-21
43
问题
设有二阶线性微分方程
(1一x
2
)
+y=2x
(Ⅰ)作自变量替换x=sint(—
),把方程变换成y关于t的微分方程.
(Ⅱ)求原方程的通解.
选项
答案
(Ⅰ)先求 [*] (Ⅱ)题(Ⅰ)已把原方程转化为④,故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程,它的相应特征方程λ
2
+2λ+1=0,有重根λ=一1.非齐次方程可设特解y
2
=Asint+Bcost,代入④得 一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost—Bsint=sint 比较系数得A=0,B=一1,即y
*
(t)=一cost.因此④的通解为 y=(c
1
+c
2
t)e
-t
一cost 原方程的通解为 y=(c
1
+c
2
arcsinx)e
-arcsins
一[*]常数. 其中t=arcsinx,cost=[*].
解析
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考研数学一
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