设有二阶线性微分方程 (1一x2)+y=2x (Ⅰ)作自变量替换x=sint(—)，把方程变换成y关于t的微分方程． (Ⅱ)求原方程的通解．

admin2018-11-21 31

问题设有二阶线性微分方程
(1一x²)

+y=2x
(Ⅰ)作自变量替换x=sint(—

)，把方程变换成y关于t的微分方程．
(Ⅱ)求原方程的通解．

选项

答案(Ⅰ)先求 [*] (Ⅱ)题(Ⅰ)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ²+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齐次方程可设特解y²=Asint+Bcost，代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost—Bsint=sint 比较系数得A=0，B=一1，即y^*(t)=一cost．因此④的通解为 y=(c₁+c₂t)e^-t一cost 原方程的通解为 y=(c₁+c₂arcsinx)e^-arcsins一[*]常数．其中t=arcsinx，cost=[*]．

解析

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