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  3. 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解． (1)证明此方程组的系数矩阵A的秩为2． (2)求a，b的值和方程组的通解．

已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解． (1)证明此方程组的系数矩阵A的秩为2． (2)求a，b的值和方程组的通解．

admin2018-11-11  105
问题 已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．
    (1)证明此方程组的系数矩阵A的秩为2．
    (2)求a，b的值和方程组的通解．
选项
答案(1)设α1，α2，α3是AX=β的3个线性无关的解，则，α2-α1，α3-α1是AX=0的2个线性无关的解．于是AX=0的解集合的秩不小于2，即4-r(A)≥2，r(A)≤2， 又因为A的行向量是两两线性无关的，所以r(A)≥2． 两个不等式说明了r(A)=2． (2) [*] 由r(A)=2，得出a=2，b=-3． 代入后继续作初等行变换化为简单阶梯形矩阵： [*] 得同解方程组 [*] 求出一个特解(2，-3，0，0)T和AX=0的基础解系(-2，1，1，0)T，(4，-5，0，1)T．得到方程组的通解： (2，-3，0，0)T+c1(-2，1，1，0)T+c2(4，-5，0，1)T，c1，c2任意．
解析
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考研数学二

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