2. 考研
  3. 设A，B，C是n阶方阵，满足r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(AT一2E)=O．证明：A～A，并求A及｜A｜．

设A，B，C是n阶方阵，满足r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(AT一2E)=O．证明：A～A，并求A及｜A｜．

admin2016-03-05  65
问题 设A，B，C是n阶方阵，满足r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(AT一2E)=O．证明：A～A，并求A及｜A｜．
选项
答案由已知条件，r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(AT一2E)=O．若r(C)=n，则r(B)=0，在(A+E)C=O两边右乘C一1，得A+E=0，即A=一E．故A～A=一E．若r(B)=n，则r(C)=0，在B(AT一2E)=O两边左乘B一1，得AT一2E=O，即AT=2E．故A=(2E)T=2E—A=2E．若r(C)=r，r≠n，r≠0，则r(B)=n—r．将矩阵C进行列分块，方程组(A+E)x=0至少有r个线性无关解向量，即A有特征值λ=一1，且至少是r重根．对B(AT一2E)=O两边转置，可得(A一(2E)T)BT=(A一2E)BT． 因r(BT)=r(B)=n一r，那么将BT进行列分块，则方程组(A一2E)x=0至少有n—r个线性无关解，即A有特征值λ=2，且至少有n—r重根．因r(B)+r(C)=n，故λ=一1是r重特征值；λ=2是n一r重特征值，且A有n个线性无关特征向量．故A—A，其中[*]综上可知，｜A｜=｜A｜=(一1)r2n-r．
解析
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考研数学二

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