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设A,B,C是n阶方阵,满足r(C)+r(B)=n,(A+E)C=O,B(AT一2E)=O.证明:A~A,并求A及|A|.
设A,B,C是n阶方阵,满足r(C)+r(B)=n,(A+E)C=O,B(AT一2E)=O.证明:A~A,并求A及|A|.
admin
2016-03-05
57
问题
设A,B,C是n阶方阵,满足r(C)+r(B)=n,(A+E)C=O,B(A
T
一2E)=O.证明:A~A,并求A及|A|.
选项
答案
由已知条件,r(C)+r(B)=n,(A+E)C=O,B(A
T
一2E)=O.若r(C)=n,则r(B)=0,在(A+E)C=O两边右乘C
一1
,得A+E=0,即A=一E.故A~A=一E.若r(B)=n,则r(C)=0,在B(A
T
一2E)=O两边左乘B
一1
,得A
T
一2E=O,即A
T
=2E.故A=(2E)
T
=2E—A=2E.若r(C)=r,r≠n,r≠0,则r(B)=n—r.将矩阵C进行列分块,方程组(A+E)x=0至少有r个线性无关解向量,即A有特征值λ=一1,且至少是r重根.对B(A
T
一2E)=O两边转置,可得(A一(2E)
T
)B
T
=(A一2E)B
T
. 因r(B
T
)=r(B)=n一r,那么将B
T
进行列分块,则方程组(A一2E)x=0至少有n—r个线性无关解,即A有特征值λ=2,且至少有n—r重根.因r(B)+r(C)=n,故λ=一1是r重特征值;λ=2是n一r重特征值,且A有n个线性无关特征向量.故A—A,其中[*]综上可知,|A|=|A|=(一1)
r
2
n-r
.
解析
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考研数学二
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