(2013年)设A＝(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij＋Aij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝_______．

admin2019-03-08 60

问题 (2013年)设A＝(a_ij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，A_ij为a_ij的代数余子式．若a_ij＋A_ij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝_______．

选项

答案－1．

解析由A≠0，不妨设a₁₁≠0，由已知的A_ij＝－a_ij(i，j＝1，2，3)，得

及A＝－(A^*)^T，其中A^*为A的伴随矩阵．以下方法：
用A^T右乘A＝－(A^*)^T的两端，得
AA^T＝－(A^*)A^T＝－(AA^*)^T＝－(｜A｜I)^T，
其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
｜A｜²＝(－1)³｜A｜³，或｜A｜²(1＋｜A｜)＝0，
因｜A｜≠0，所以｜A｜＝－1．

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