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设fn(x)=x(x-1)(2x-1)(3x-1)…(nx-1),n为正整数,则f"n(x)在开区间(0,1)内有________个零点。
设fn(x)=x(x-1)(2x-1)(3x-1)…(nx-1),n为正整数,则f"n(x)在开区间(0,1)内有________个零点。
admin
2022-03-14
45
问题
设f
n
(x)=x(x-1)(2x-1)(3x-1)…(nx-1),n为正整数,则f"
n
(x)在开区间(0,1)内有________个零点。
选项
答案
n-1
解析
因为f
n
(x)有零点,x=0,1,
,…,
,共n+1个,由罗尔定理可知,在开区间(0,1)内f’
n
(x)至少有n个零点,从而f"
n
(x)在开区间(0,1)内至少有n-1个零点,由于f"
n
(x)是n-1次多项式,因此它至多有n-1个零点,故f"
n
(x)在开区间(0,1)内恰有n-1个零点。
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考研数学三
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