已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

admin2017-06-14 26

问题已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

选项

答案必要性．若AB正定，则AB是对称的，即 AB=(AB)^T=B^TA^T．由于A，B均正定，知A^T=A，B^T=B，故 AB=BA．即A与B可交换．充分性．若AB=BA，则(AB)^T=B^TA^T=BA=AB，知AB是对称矩阵．再由A，B均正定，知存在可逆矩阵P和Q，使得A=p^TP，B=Q^TQ．于是 Q(AB)Q^－1=Q(P^TP)(Q^TQ)Q^－1=(QP^T)(PQ^T)=(PQ^T)^T(PQ^T)．即AB相似于矩阵(PQ^T)^T(PQ^T)．因为PQ^T可逆，知(PQ^T)^T(PQ^T)正定．因此，AB的特征值全大于零，故AB正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vdu4777K

考研数学一

相关试题推荐

A、 B、 C、 D、 B
[*]
设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3A2)-1有一个特征值等于
设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记则()．
设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是()．
设常数λ＞0，而级数收敛，则级数()．
=_________，其中Ω为曲线绕z轴旋围一周而成曲面与平面z=2，z=8所围立体．
设数列{an}，{bn}满足0＜an＜π/2，0＜π/2，cosan-an=cosbn，且级数收敛．
已知当x→0时是xn的同阶无穷小量，则n=_______．
考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由

随机试题

下列行为中应以故意伤害罪定罪处罚的是：()
马斯洛认为，人希望自己能够充分发挥自己的潜能，做最适宜的工作。这一描述指的是需要层次理论中的()
What’smoreimportanttoyou,money,acomfortablelife,orself-respect?Manypeoplebelievethatwearelivinginanagewhere
诊断阻塞性肺气肿，最有价值的是()
苦楝皮具有的功效是
桥梁明挖扩大基础施工中，对于土质渗透性较大、挖掘较深的基坑，可采用()排水。
在下列各项中，不能用于平均资本成本计算的是()。
下列关于应付账款的表述正确的有()。
生产集中和资本集中是()
"Youneedanapartmentaloneevenifit’soveragarage,"declaredHelenGurleyBrowninher1962bestseller"SexandtheSingle

最新回复(0)

已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

考研数学一

A、 B、 C、 D、 B

[*]

设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3A2)-1有一个特征值等于

设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记则()．

设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是()．

设常数λ＞0，而级数收敛，则级数()．

=_________，其中Ω为曲线绕z轴旋围一周而成曲面与平面z=2，z=8所围立体．

设数列{an}，{bn}满足0＜an＜π/2，0＜π/2，cosan-an=cosbn，且级数收敛．

已知当x→0时是xn的同阶无穷小量，则n=_______．

考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由

下列行为中应以故意伤害罪定罪处罚的是：()

马斯洛认为，人希望自己能够充分发挥自己的潜能，做最适宜的工作。这一描述指的是需要层次理论中的()

What’smoreimportanttoyou,money,acomfortablelife,orself-respect?Manypeoplebelievethatwearelivinginanagewhere

诊断阻塞性肺气肿，最有价值的是()

苦楝皮具有的功效是

桥梁明挖扩大基础施工中，对于土质渗透性较大、挖掘较深的基坑，可采用()排水。

在下列各项中，不能用于平均资本成本计算的是()。

下列关于应付账款的表述正确的有()。

生产集中和资本集中是()

"Youneedanapartmentaloneevenifit’soveragarage,"declaredHelenGurleyBrowninher1962bestseller"SexandtheSingle