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已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．
已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．
admin
2017-06-14
33
问题
已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．
选项
答案
必要性．若AB正定，则AB是对称的，即 AB=(AB)
T
=B
T
A
T
． 由于A，B均正定，知A
T
=A，B
T
=B，故 AB=BA． 即A与B可交换． 充分性．若AB=BA，则(AB)
T
=B
T
A
T
=BA=AB，知AB是对称矩阵．再由A，B均 正定，知存在可逆矩阵P和Q，使得A=p
T
P，B=Q
T
Q．于是 Q(AB)Q
－1
=Q(P
T
P)(Q
T
Q)Q
－1
=(QP
T
)(PQ
T
)=(PQ
T
)
T
(PQ
T
)． 即AB相似于矩阵(PQ
T
)
T
(PQ
T
)．因为PQ
T
可逆，知(PQ
T
)
T
(PQ
T
)正定．因此，AB的特征值全大于零，故AB正定．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vdu4777K
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考研数学一
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