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已知A,B都是n阶正定矩阵,证明:AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换.
已知A,B都是n阶正定矩阵,证明:AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换.
admin
2017-06-14
34
问题
已知A,B都是n阶正定矩阵,证明:AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换.
选项
答案
必要性.若AB正定,则AB是对称的,即 AB=(AB)
T
=B
T
A
T
. 由于A,B均正定,知A
T
=A,B
T
=B,故 AB=BA. 即A与B可交换. 充分性.若AB=BA,则(AB)
T
=B
T
A
T
=BA=AB,知AB是对称矩阵.再由A,B均 正定,知存在可逆矩阵P和Q,使得A=p
T
P,B=Q
T
Q.于是 Q(AB)Q
-1
=Q(P
T
P)(Q
T
Q)Q
-1
=(QP
T
)(PQ
T
)=(PQ
T
)
T
(PQ
T
). 即AB相似于矩阵(PQ
T
)
T
(PQ
T
).因为PQ
T
可逆,知(PQ
T
)
T
(PQ
T
)正定.因此,AB的特征值全大于零,故AB正定.
解析
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考研数学一
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