已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

admin2017-06-14 16

问题已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

选项

答案必要性．若AB正定，则AB是对称的，即 AB=(AB)^T=B^TA^T．由于A，B均正定，知A^T=A，B^T=B，故 AB=BA．即A与B可交换．充分性．若AB=BA，则(AB)^T=B^TA^T=BA=AB，知AB是对称矩阵．再由A，B均正定，知存在可逆矩阵P和Q，使得A=p^TP，B=Q^TQ．于是 Q(AB)Q^－1=Q(P^TP)(Q^TQ)Q^－1=(QP^T)(PQ^T)=(PQ^T)^T(PQ^T)．即AB相似于矩阵(PQ^T)^T(PQ^T)．因为PQ^T可逆，知(PQ^T)^T(PQ^T)正定．因此，AB的特征值全大于零，故AB正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vdu4777K

考研数学一

相关试题推荐

设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
设函数f(x)在z=0处连续，且，则()．
设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为ξ1=
设矩阵，则A3的秩为_________．
设矩阵，且｜A｜=-1．又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为a=(-1，-1，1)T，求a，b，c及λ0的值．
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且，f+’+(a)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(a)＜0．
k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．
设f(x，y)=，则函数在原点处偏导数存在的情况是()．
极限=_________．
(1998年试题，一)设具有二阶连续导数，则=______________.

随机试题

背景资料：某建设工程已委托某施工单位作为总承包单位。该施工单位提出由另一家施工单位作为分包，承担主体施工。所有安全责任由分包单位负责，如果有了事故也由分包单位上报，并已签订分包合同。实行施工总承包的建设工程，由()负责上报事故。
当给城市划定一条增长边界之后，随着人口规模的扩大，居住用地的竞标租金曲线会发晕()。
我国证券交易所的理事会具有的职权有(　　)。
待执行合同变成亏损合同时，无论是否有合同标的资产，亏损合同相关义务满足预计负债确认条件时，应当确认为预计负债。()
与同伴发生冲突时，能在他人的帮助下和平解决，该社会领域的年龄班是()。
某个航班上，大多数中年乘客都购买了航空意外险，而该航空公司的金卡及以上会员均购买了航空延误险，所有购买了航空意外险的乘客都没有购买航空延误险。如果上述论述为真，下列()项关于该航班乘客的论述必定为真。I．有中年乘客没有购买航空延误险。Ⅱ．该航空公司
与西周一样，秦朝也重视对犯罪故意与过失的区别，其中过失称为
真人秀
Whatarethespeakersmainlydiscussing?
Everysocialexperiencewehaveaffectsusinatleastsomesmallways.Family,schooling,peers,andmassmediaallhavean【S1】

最新回复(0)

已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

考研数学一

设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?

设函数f(x)在z=0处连续，且，则()．

设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为ξ1=

设矩阵，则A3的秩为_________．

设矩阵，且｜A｜=-1．又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为a=(-1，-1，1)T，求a，b，c及λ0的值．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且，f+’+(a)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(a)＜0．

k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．

设f(x，y)=，则函数在原点处偏导数存在的情况是()．

极限=_________．

(1998年试题，一)设具有二阶连续导数，则=______________.

当给城市划定一条增长边界之后，随着人口规模的扩大，居住用地的竞标租金曲线会发晕()。

我国证券交易所的理事会具有的职权有( )。

待执行合同变成亏损合同时，无论是否有合同标的资产，亏损合同相关义务满足预计负债确认条件时，应当确认为预计负债。()

与同伴发生冲突时，能在他人的帮助下和平解决，该社会领域的年龄班是()。

与西周一样，秦朝也重视对犯罪故意与过失的区别，其中过失称为

真人秀

Whatarethespeakersmainlydiscussing?

Everysocialexperiencewehaveaffectsusinatleastsomesmallways.Family,schooling,peers,andmassmediaallhavean【S1】

我国证券交易所的理事会具有的职权有(　　)。