已知A,B都是n阶正定矩阵,证明:AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换.

admin2017-06-14  19

问题 已知A,B都是n阶正定矩阵,证明:AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换.

选项

答案必要性.若AB正定,则AB是对称的,即 AB=(AB)T=BTAT. 由于A,B均正定,知AT=A,BT=B,故 AB=BA. 即A与B可交换. 充分性.若AB=BA,则(AB)T=BTAT=BA=AB,知AB是对称矩阵.再由A,B均 正定,知存在可逆矩阵P和Q,使得A=pTP,B=QTQ.于是 Q(AB)Q-1=Q(PTP)(QTQ)Q-1=(QPT)(PQT)=(PQT)T(PQT). 即AB相似于矩阵(PQT)T(PQT).因为PQT可逆,知(PQT)T(PQT)正定.因此,AB的特征值全大于零,故AB正定.

解析
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