已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

admin2017-06-14 13

问题已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

选项

答案必要性．若AB正定，则AB是对称的，即 AB=(AB)^T=B^TA^T．由于A，B均正定，知A^T=A，B^T=B，故 AB=BA．即A与B可交换．充分性．若AB=BA，则(AB)^T=B^TA^T=BA=AB，知AB是对称矩阵．再由A，B均正定，知存在可逆矩阵P和Q，使得A=p^TP，B=Q^TQ．于是 Q(AB)Q^－1=Q(P^TP)(Q^TQ)Q^－1=(QP^T)(PQ^T)=(PQ^T)^T(PQ^T)．即AB相似于矩阵(PQ^T)^T(PQ^T)．因为PQ^T可逆，知(PQ^T)^T(PQ^T)正定．因此，AB的特征值全大于零，故AB正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vdu4777K

考研数学一

相关试题推荐

[*]
设函数问函数f(x)在x=1处是否连续?若不连续，修改函数在x=1处的定义使之连续．
若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a=________．
当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更低阶的无穷小量?()．
设函数Y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定，判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且，f+’+(a)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(a)＜0．
设函数f(x，y)在D：x2+y2≤1有连续的偏导数，且在L：x2+y2=1上有f(x，y)≡0．证明：f(0，0)=，其中D2：r2≤x2+y2≤1．
(2000年试题，一)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_____________.
设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数，证明：．
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

随机试题

激发后的原子退激时放出
鼻腔及鼻窦血管瘤主要的治疗方法是
企业在各期发生的期间费用在期末应当()。
我国编辑工作的思想性，在很多地方是和()相通的。
图例：根据图例和数字裹回答下列各题：数字表第9列中的两最小值之和所对应的符号是()。
受贿罪的成立，必须要求为他人谋取利益，请对这一说法进行辨析。
曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________。
Whatisthebesttitleofthispassage?
A、Inasupermarket.B、Inapark.C、Onabus.D、Inarestaurant.D本题考查对话发生的地点。由food可知和食物有关，再结合其他关键词service(服务)，waitress(服务员)及orde
Thereisnodoubt______heisagoodemployee.

最新回复(0)

已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

考研数学一

[*]

设函数问函数f(x)在x=1处是否连续?若不连续，修改函数在x=1处的定义使之连续．

若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a=________．

当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更低阶的无穷小量?()．

设函数Y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定，判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且，f+’+(a)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(a)＜0．

设函数f(x，y)在D：x2+y2≤1有连续的偏导数，且在L：x2+y2=1上有f(x，y)≡0．证明：f(0，0)=，其中D2：r2≤x2+y2≤1．

(2000年试题，一)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_____________.

设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数，证明：．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

激发后的原子退激时放出

鼻腔及鼻窦血管瘤主要的治疗方法是

企业在各期发生的期间费用在期末应当()。

我国编辑工作的思想性，在很多地方是和()相通的。

图例：根据图例和数字裹回答下列各题：数字表第9列中的两最小值之和所对应的符号是()。

受贿罪的成立，必须要求为他人谋取利益，请对这一说法进行辨析。

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________。

Whatisthebesttitleofthispassage?

A、Inasupermarket.B、Inapark.C、Onabus.D、Inarestaurant.D本题考查对话发生的地点。由food可知和食物有关，再结合其他关键词service(服务)，waitress(服务员)及orde

Thereisnodoubt______heisagoodemployee.