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  3. 设f(χ)是连续且单调递增的奇函数，设F(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则F(χ)是( )

设f(χ)是连续且单调递增的奇函数，设F(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则F(χ)是( )

admin2017-11-30  80
问题 设f(χ)是连续且单调递增的奇函数，设F(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则F(χ)是(    )
选项 A、单调递增的奇函数
B、单调递减的奇函数
C、单调递增的偶函数
D、单调递减的偶函数
答案B
解析 令χ－u＝t，则
    F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt，F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt，
    令t＝－u，
    F(－χ)＝∫0χ(－χ＋2u)f(－u)du＝∫0χ(χ－2u)f(－u)du。
    因为f(χ)是奇函数，
    f(χ)＝－f(－χ)，F(－χ)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du，
    则有F(χ)＝－F(－χ)为奇函数。
    F′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)，
    由积分中值定理可得∫0χf(t)dt＝f(ξ)χ，ξ介于0到χ之间，
    F′(χ)＝f(ξ)χ－χf(χ)＝[f(ξ)－f(χ)]χ，
    因为f(χ)单调递增，当χ＞0时，ξ∈[0，χ]，f(ξ)－f(χ)＜0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减；当χ＜0时，ξ∈[χ，0]，f(ξ)－f(χ)＞0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减。所以F(χ)是单调递减的奇函数。
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考研数学一

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