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设f(χ)是连续且单调递增的奇函数,设F(χ)=∫0χ(2u-χ)f(χ-u)du,则F(χ)是( )
设f(χ)是连续且单调递增的奇函数,设F(χ)=∫0χ(2u-χ)f(χ-u)du,则F(χ)是( )
admin
2017-11-30
79
问题
设f(χ)是连续且单调递增的奇函数,设F(χ)=∫
0
χ
(2u-χ)f(χ-u)du,则F(χ)是( )
选项
A、单调递增的奇函数
B、单调递减的奇函数
C、单调递增的偶函数
D、单调递减的偶函数
答案
B
解析
令χ-u=t,则
F(χ)=∫
0
χ
(χ-2t)f(t)dt,F(-χ)=∫
0
-χ
(-χ-2t)f(t)dt,
令t=-u,
F(-χ)=∫
0
χ
(-χ+2u)f(-u)du=∫
0
χ
(χ-2u)f(-u)du。
因为f(χ)是奇函数,
f(χ)=-f(-χ),F(-χ)=∫
0
χ
(χ-2u)f(u)du,
则有F(χ)=-F(-χ)为奇函数。
F′(χ)=∫
0
χ
f(t)dt-χf(χ),
由积分中值定理可得∫
0
χ
f(t)dt=f(ξ)χ,ξ介于0到χ之间,
F′(χ)=f(ξ)χ-χf(χ)=[f(ξ)-f(χ)]χ,
因为f(χ)单调递增,当χ>0时,ξ∈[0,χ],f(ξ)-f(χ)<0,所以F′(χ)<0,F(χ)单调递减;当χ<0时,ξ∈[χ,0],f(ξ)-f(χ)>0,所以F′(χ)<0,F(χ)单调递减。所以F(χ)是单调递减的奇函数。
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考研数学一
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