设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(—1，2，—1)T，α2=(0，—1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求A的特征值与特征向量。

admin2018-12-29 47

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(—1，2，—1)^T，α₂=(0，—1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
求A的特征值与特征向量。

选项

答案因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有 [*] 则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)^T。是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)^T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα₁=0，Aα₂=0，即Aα₁=0.α₁，Aα₂=0.α₂，而且α₁，α₂线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为 k₁α₁+k₂α₂=k₁(—1，2，—1)^T+k₂(0，—1，1)^T，其中k₁，k₂是不全为零的常数。

解析

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考研数学一

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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(—1，2，—1)T，α2=(0，—1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求A的特征值与特征向量。

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