设f(x)在区间(0，+∞)上连续，且严格单调增加．试求证：F(x)=在区间(0，+∞)上也严格单调增加．

admin2020-04-21 111

问题设f(x)在区间(0，+∞)上连续，且严格单调增加．试求证：F(x)=

在区间(0，+∞)上也严格单调增加．

选项

答案对第1个积分作变量代换，令[*]=u，t=ux．则 [*] 当0＜x＜1时，[*]＞1，于是当1≤u＜[*]－f(u)＞0；当x＞1时，0＜[*]＜1，于是当[*]－f(u)＜0．不论哪种情形，总有F′(x)＞0(当x＞0且x≠1)．此外易知F′(1)=0．所以当0＜x＜+∞时，F(x)严格单调增加．

解析

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