设A=E一ξξT,其中ξ=(x1,x2 ,……xn)T,且有ξTξ=1。则 ①A是对称矩阵; ②A2是单位矩阵; ③A是正交矩阵; ④A是可逆矩阵。 上述结论中,正确的个数是( )

admin2017-01-13  30

问题 设A=E一ξξT,其中ξ=(x1,x2 ,……xn)T,且有ξTξ=1。则
①A是对称矩阵;    ②A2是单位矩阵;
③A是正交矩阵;    ④A是可逆矩阵。
上述结论中,正确的个数是(    )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案D

解析 AT=(E一2ξξT)T=ET一(2ξξT)T=E一2ξξT=A,①成立。A2=(E一2ξξT)(E一2ξξT)=E一4ξT+4ξTξT=E一4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E,②成立。由①、②,得A2=AAT=E,故A是正交矩阵,③成立。由③知正交矩阵是可逆矩阵,且A-1=AT,④成立。故应选D。
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