下列矩阵中，A和B相似的是( ) 5

admin2019-06-04 37

问题下列矩阵中，A和B相似的是( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析 A项，r(A)≠r(B)；B项，tr(A)≠tr(B)；C项，｜A｜≠｜B｜。由矩阵相似的必要条件可知，A、B、C三项错误。由排除法可知，本题选D。
实际上，对于D项，r(A)﹦3，特征值为1(三重)，r(A－E)﹦2，r(B)﹦3，特征值为1(三重)，r(B－E)﹦2，所以矩阵A和B相似。
本题考查相似矩阵的性质。矩阵A和B相似的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得P^－1AP﹦B。进而可得矩阵A和B相似的必要条件：①r(A)﹦r(B)；②｜A｜﹦｜B｜；③λ_A﹦λ_B；④tr(A)﹦tr(B)；⑤A和B的特征多项式相同。

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