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  3. 在空间直角坐标系的原点处，有一单位正电荷．设另一单位负电荷在椭圆上移动，问两电荷间的引力何时最大、何时最小?

在空间直角坐标系的原点处，有一单位正电荷．设另一单位负电荷在椭圆上移动，问两电荷间的引力何时最大、何时最小?

admin2022-07-21  15
问题 在空间直角坐标系的原点处，有一单位正电荷．设另一单位负电荷在椭圆上移动，问两电荷间的引力何时最大、何时最小?
选项
答案原点处的单位正电荷与任一点(x，y，z)处的单位负电荷之间的引力为 [*] 令f(x，y，z)=x2+y2+z2，则求G何时最大、何时最小的问题，归结为求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在约束条件[*]下的最大、最小问题．构造拉格朗日函数 F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(z-x2-y2)+μ(x+y+z-1) [*] 由方程前两个式子得(1-λ)(x-y)=0． 如果λ=1，则由第一个式子推出μ=0，再由第三个式子推出z=-1/2．这显然与第四式子矛盾，所以λ≠1，从而必有x=y．将x=y代入第四和第五式子，求得 [*] 因为连续函数在椭圆上必于某点达到最大值和最小值，故综合上面的讨论得，引力在点[*]处取得最大值，在点[*]取得最小值．
解析
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考研数学一

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