设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．证明：｜∫02f(x)dx｜≤2．

admin2016-09-30 43

问题设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．证明：｜∫₀²f(x)dx｜≤2．

选项

答案由微分中值定理得f(x)～f(0)=f’(ξ₁)x，其中0＜ξ₁＜x，f(x)一f(2)=f’(ξ₂)(x一2)，其中x＜ξ₂＜2，于是[*] 从而|∫₀²f(x)dx|≤∫₀²|f(x)|dx=∫₀¹|f(x)|dx+∫₁²|f(x)|dx ≤∫₀¹2xdx+∫₁²2(2一x)dx=2．

解析

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