2. 考研
  3. 设α=(1，—1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

设α=(1，—1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

admin2019-03-23  50
问题 设α=(1，—1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。
选项
答案k(1，—1，1)T，k≠0
解析 令B=αβT，那么可知矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，因此Bα=αβTα=(a+1)α，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0，那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。
又因为λ=3是矩阵A的特征值，因此1+(a+1)=3，可得a=1。于是有Bα=2α。
α=k(1，—1，1)T(k≠0)，是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。
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考研数学二

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