设矩阵A=(a1,a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2—a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程组Ax=b的通解。

admin2018-12-29 48

问题设矩阵A=(a₁,a₂，a₃，a₄)，其中a₂，a₃，a₄线性无关，a₁=2a₂—a₃，向量b=a₁+a₂+a₃+a₄，求方程组Ax=b的通解。

选项

答案已知a₂，a₃，a₄线性无关，则r(A)≥3。又由a₁，a₂，a₃线性相关可知a₁，a₂，a₃，a₄线性相关，故r(A)≤3。终上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为4—3=1。又因为 a₁=2a₂—a₃[*]a₁—2a₂+a₃=0[*](a₁，a₂，a₃，a₄)[*]=0，所以x=(1，—2，1，0)^T是方程组Ax=0的基础解系。又由b=a₁+a₂+a₃+a₄可知x=(1，1，1，1)^T是方程组Ax=b的一个特解。于是原方程组的通解为x=(1，1，1，1)^T+c(1，—2，1，0)^T，c∈R。

解析

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考研数学一

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设矩阵A=(a1,a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2—a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程组Ax=b的通解。

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