设向量组(Ⅰ)α1,α2,α3; (Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ)α1,α2,α3,α5,若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3,而向量组(Ⅲ)的秩为4. 证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.

admin2018-05-22  35

问题 设向量组(Ⅰ)α1,α2,α3
(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ)α1,α2,α3,α5,若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3,而向量组(Ⅲ)的秩为4.
证明:向量组α1,α2,α3,α54的秩为4.

选项

答案因为向量组(Ⅰ)的秩为3,所以α1,α2,…,α3线性无关,又因为向量组(Ⅱ)的秩也为3,所以向量α4可由向量组α1,α2,…,α3线性表示.因为向量组(Ⅲ)的秩为4,所以α1,α2,α3,α5线性无关,即向量α5不可由向量组α1,α2,α3线性表示,故向量α54不可由α1,α2,α3线性表示,所以α1,α2,α3,α54线性无关,于是向量组α1,α2,α3,α54的秩为4.

解析
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