证明α1，α2，…αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1线性表出．

admin2017-08-18 23

问题证明α₁，α₂，…α_s(其中α₁≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个α_i(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α₁，α₂，…，α_i－1线性表出．

选项

答案必要性．因为α₁，α₂，…，α_s线性相关，故有不全为0的k₁，k₂，…，k_s使 k₁α₁＋k₂α₂＋k_sα_s＝0．设k_s，k_s－1，…，k₂，k₁中第一个不为0的是k_i(即k_i≠0，而k_＋1＋i＝…＝k_s－1＝k_s＝0)，且必有i>1(若i＝1即k₁≠0，k₂＝…＝k_s＝0，那么k₁α₁＝0．于是α₁＝0与α₁≠0矛盾．)，从而k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_iα_i＝0，k_i≠0．那么α_i＝[*] (k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_i－1α_i－1)．充分性．设有α_i可用α₁，α₂，…，α_i－1线性表示，则α₁，α₁，…， α_i－1，α_i线性相关，从而α₁，α₂，…，α_s线性相关．

解析

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考研数学一

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证明α1，α2，…αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1线性表出．

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