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  3. 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2017-06-26  26
问题 设有齐次线性方程组
    试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
选项
答案对方程组的系数矩阵A作初等行变换： [*] (1)当a＝0时，r(A)＝1＜n，故方程组有非零解，其同解方程组为χ1＋χ2＋…＋χn＝0，由此得基础解系为ξ1＝(－1，1，0，…，0)T，ξ2＝(－1，0，1，…，0)T，…，ξn-1＝(－1，0，0，…，1)T，于是方程组的通解为 χ＝k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-1ξn-1，其中k1，…，kn-1为任意常数． (2)当a≠0时，对矩阵B作初等行变换： [*] 可知a＝[*]时．r(A)＝n－1＜n，故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 χ2＝2χ1，χ3＝3χ1，…，χn＝nχ1 (χ1任意)， 由此得基础解系为ξ＝(1，2，3，…，n)T，于是方程组用基础解系表示的通解为 χ＝kξ，其中k为任意常数．
解析
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考研数学三

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