设α1＝(1，0，2，3)T，α2＝(1，1，3，5)T，α3＝(1，－1，a＋2，1)T，α4＝(1，2，4，a＋8)T，β＝(1，1，b＋3，5)T．问：(1)a，b为什么数时，β不能用α1，α2，α3，α4表示? (2)a，b为什么

admin2021-11-09 58

问题设α₁＝(1，0，2，3)^T，α₂＝(1，1，3，5)^T，α₃＝(1，－1，a＋2，1)^T，α₄＝(1，2，4，a＋8)^T，β＝(1，1，b＋3，5)^T．
问：(1)a，b为什么数时，β不能用α₁，α₂，α₃，α₄表示?
(2)a，b为什么数时，β可用α₁，α₂，α₃，α₄表示，并且表示方式唯一?

选项

答案利用秩来判断较简单，为此计算出r(α₁，α₂，α₃，α₄)和r(α₁，α₂，α₃，α₄，β)作比较．构造矩阵(α₁，α₂，α₃，α₄｜β)，并用初等行变换化阶梯形矩阵： (α₁，α₂，α₃，α₄｜β)＝[*] (1)当a＋1＝0，而b≠0时，r(α₁，α₂，α₃，α₄)＝2，而r(α₁，α₂，α₃，α₄，β)＝3，因此β不能用α₁，α₂，α₃，α₄线性表示． (2)当a＋1≠0时(b任意)，r(α₁，α₂，α₃，α₄)＝r(α₁，α₂，α₃，α₄，β)＝4，β可用α₁，α₂，α₃，α₄表示，并且表示方式唯一． (如果a＋1＝0，而b＝0，则r(α₁，α₂，α₃，α₄)＝r(α₁，α₂，α₃，α₄，β)＝2，因此β能用α₁，α₂，α₃，α₄线性表示，但是表示方式不唯一．)

解析

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考研数学二

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设α1＝(1，0，2，3)T，α2＝(1，1，3，5)T，α3＝(1，－1，a＋2，1)T，α4＝(1，2，4，a＋8)T，β＝(1，1，b＋3，5)T．问：(1)a，b为什么数时，β不能用α1，α2，α3，α4表示? (2)a，b为什么

考研数学二

设f(x)∈C（a,b)，在（a,b)内可导，f(a)=f(b)=1.证明：存在ε，η∈（a,b),使得2e2ε-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)].

下列命题成立的是（）。

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明：|f’(x)|≤.

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,.证明：存在ε∈(a,b),使得f"(ε)=f(ε).

设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0,f"(x)﹥0,过曲线y=f(x)上任一点（x,f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求.

设V(t)是曲线)y＝在x∈[0，t]的弧段绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积，求常数c使得V(c)＝。