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  3. 设α1＝(1，0，2，3)T，α2＝(1，1，3，5)T，α3＝(1，－1，a＋2，1)T，α4＝(1，2，4，a＋8)T，β＝(1，1，b＋3，5)T． 问：(1)a，b为什么数时，β不能用α1，α2，α3，α4表示? (2)a，b为什么

设α1＝(1，0，2，3)T，α2＝(1，1，3，5)T，α3＝(1，－1，a＋2，1)T，α4＝(1，2，4，a＋8)T，β＝(1，1，b＋3，5)T． 问：(1)a，b为什么数时，β不能用α1，α2，α3，α4表示? (2)a，b为什么

admin2021-11-09  31
问题 设α1＝(1，0，2，3)T，α2＝(1，1，3，5)T，α3＝(1，－1，a＋2，1)T，α4＝(1，2，4，a＋8)T，β＝(1，1，b＋3，5)T．
    问：(1)a，b为什么数时，β不能用α1，α2，α3，α4表示?
    (2)a，b为什么数时，β可用α1，α2，α3，α4表示，并且表示方式唯一?
选项
答案利用秩来判断较简单，为此计算出r(α1，α2，α3，α4)和r(α1，α2，α3，α4，β)作比较． 构造矩阵(α1，α2，α3，α4｜β)，并用初等行变换化阶梯形矩阵： (α1，α2，α3，α4｜β)＝[*] (1)当a＋1＝0，而b≠0时，r(α1，α2，α3，α4)＝2，而r(α1，α2，α3，α4，β)＝3，因此β不能用α1，α2，α3，α4线性表示． (2)当a＋1≠0时(b任意)，r(α1，α2，α3，α4)＝r(α1，α2，α3，α4，β)＝4，β可用α1，α2，α3，α4表示，并且表示方式唯一． (如果a＋1＝0，而b＝0，则r(α1，α2，α3，α4)＝r(α1，α2，α3，α4，β)＝2，因此β能用α1，α2，α3，α4线性表示，但是表示方式不唯一．)
解析
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考研数学二

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