设α是n维单位列向量，A=E-αT．证明：r(A)＜n．

admin2022-04-02 58

问题设α是n维单位列向量，A=E-α^T．证明：r(A)＜n．

选项

答案A²=(E-αα^T)(E-αα^T)=E-2αα^T+αα^T·αα^T，因为α为单位列向量，所以α^Tα=1，于是A²=A．由A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)≤n，又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E-A)=n．因为E-A=αα^T≠O，所以r(E-A)=r(αα^T)=r(α)=1，故r(A)=n-1＜n．

解析

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