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  3. 设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系， β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1． 其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础

设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系， β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1． 其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础

admin2020-03-05  27
问题 设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，
    β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1．
    其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础解系．
选项
答案因为βi(i＝1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Aχ＝0的解据齐次线性方程组解的性质知βi(i＝1，2，…，s)均为Aχ＝0的解． 从α1，α2，…，αs是Aχ＝0的基础解系知s＝n－r(A)． 以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件： 设k1β1＋k2β2＋…＋ksβs＝0，即 (t1k1＋t2ks)α1＋(t2k1＋t1k2)α2＋(t2k2＋t1k3)α3＋…＋(t2ks-1＋t1ks)αs＝0， 由于α1，α2，…，αs线性无关，因此有 [*] 又因系数行列式 [*] 当t1s＋(－1)s+1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1＝k2＝…＝ks＝0． 因此当s为偶数，t1≠±t2，或当s为奇数，t1≠－t2时，β1，β2，…，βs线性无关．
解析
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考研数学一

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