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设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系， β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1． 其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础
设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系， β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1． 其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础
admin
2020-03-05
29
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，
β
1
＝t
1
α
1
＋t
2
α
2
，β
2
＝t
1
α
2
＋t
2
α
3
，…，β
s
＝t
1
α
s
＋t
2
α
1
．
其中t
1
，t
2
为实常数．试问t
1
，t
2
满足什么条件时，β
1
，β
2
，…，β
s
也为Aχ＝0的一个基础解系．
选项
答案
因为β
i
(i＝1，2，…，s)是α
1
，α
2
，…，α
s
的线性组合，且α
1
，α
2
，…，α
s
是Aχ＝0的解据齐次线性方程组解的性质知β
i
(i＝1，2，…，s)均为Aχ＝0的解． 从α
1
，α
2
，…，α
s
是Aχ＝0的基础解系知s＝n－r(A)． 以下分析β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关的条件： 设k
1
β
1
＋k
2
β
2
＋…＋k
s
β
s
＝0，即 (t
1
k
1
＋t
2
k
s
)α
1
＋(t
2
k
1
＋t
1
k
2
)α
2
＋(t
2
k
2
＋t
1
k
3
)α
3
＋…＋(t
2
k
s-1
＋t
1
k
s
)α
s
＝0， 由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，因此有 [*] 又因系数行列式 [*] 当t
1
s
＋(－1)
s+1
t
2
s
≠0时，方程组(*)只有零解k
1
＝k
2
＝…＝k
s
＝0． 因此当s为偶数，t
1
≠±t
2
，或当s为奇数，t
1
≠－t
2
时，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/X5S4777K
0
考研数学一
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