设函数f(x)连续，且∫0xf(t)dt=sinxx+∫0xtf(x一t)dt．求f(x)．

admin2018-06-14 51

问题设函数f(x)连续，且∫₀^xf(t)dt=sin^xx+∫₀^xtf(x一t)dt．求f(x)．

选项

答案将∫₀^xtf(x一t)dt[*](x一u)f(u)(一du)=∫₀^x(x一u)f(u)du =x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du 代入原方程即得∫₀^xf(t)dt=sin²x+x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du．由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程两端对x求导即得 f(x)=2sinxcosx+∫₀^xf(u)du=sin2x+∫₀^xf(u)du．在上式中令x=0可得f(0)=0，由上式还可见f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得 f’(x)=2cos2x+f(x)．故求y=f(x)等价于求解初值问题[*]的特解．解之可得 y=f(x)=[*](e^x+2sin2x—cos2X)．

解析

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考研数学三

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