已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．

admin2020-09-25 66

问题已知β可以被向量α₁，α₂，…，α_r线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_r线性无关．

选项

答案充分性[*]：假设β有两种表示法 β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r， ① β=l₁α₁+l₂α₂+…+l_rα_r， ② 则k₁，k₂，…，k_r与l₁，l₂，…，l_r中至少有一个i使k_i≠l_i(1≤i≤r)，①一②得 (k₁一l₁)α₁+(k₂一l₂)α₂+…+(k_r一l_r)α_r=0．由于存在i，使k_i≠l_i，即k_i一l_i≠0，所以k₁一l₁，k₂一l₂，…，k_r一l_r为不全为零的数，从而可得α₁，α₂，…，α_r线性相关，矛盾，所以β的表示法唯一．必要性[*]：假设α₁，α₂，…，α_r线性相关，则存在一组不全为零的数l₁，l₂，…，l_r(不妨设l_k≠0)，使l₁α₁+l₂α₂+…+l_kα_k+…+l_rα_r=0． ③ 若β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r， ④ 则③+④得β=(k₁+l₁)α₁+(k₂+l₂)α₂+…+(k_k+l_k)α_k+…+(k_r+l_r)α_r， ⑤ 由于l_k≠0，则k_k+l_k≠k_k，从而可知④与⑤是β的两种不同的表示法，矛盾．所以α₁，α₂，…，α_r线性无关．

解析

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考研数学三

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已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．

考研数学三

已知α1，α2，α3线性无关，α1+α2，aα2—α3，α1—α2+α3线性相关，则a=___________．

函数f(x)=上的平均值为________．

已知方程组无解，则a＝_______．

已知函数z=f(x，y)在(1，1)处可微，且设φ(x)=f[x，f(x，x)]，则=__________．

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

(03年)设F(χ)＝f(χ)g(χ)，其中函数f(χ)，g(χ)在(－∞，＋∞)内满足以下条件：f′(χ)＝g(χ)，g′(χ)＝f(χ)，且f(0)＝0，f(χ)＋g(χ)＝2eχ．(1)求F(χ)所满足的一阶方程；(2)

已知随机变量X的概率密度为求随机变量Y＝的数学期望E(Y)．

[2003年]设a>0，而D表示全平面，则I==_________.

我国《宪法》规定，由于国家机关和国家工作人员侵犯公民权利而受到损失的人，有依照法律规定取得赔偿的权利。()

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