已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．

admin2020-09-25 54

问题已知β可以被向量α₁，α₂，…，α_r线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_r线性无关．

选项

答案充分性[*]：假设β有两种表示法 β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r， ① β=l₁α₁+l₂α₂+…+l_rα_r， ② 则k₁，k₂，…，k_r与l₁，l₂，…，l_r中至少有一个i使k_i≠l_i(1≤i≤r)，①一②得 (k₁一l₁)α₁+(k₂一l₂)α₂+…+(k_r一l_r)α_r=0．由于存在i，使k_i≠l_i，即k_i一l_i≠0，所以k₁一l₁，k₂一l₂，…，k_r一l_r为不全为零的数，从而可得α₁，α₂，…，α_r线性相关，矛盾，所以β的表示法唯一．必要性[*]：假设α₁，α₂，…，α_r线性相关，则存在一组不全为零的数l₁，l₂，…，l_r(不妨设l_k≠0)，使l₁α₁+l₂α₂+…+l_kα_k+…+l_rα_r=0． ③ 若β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r， ④ 则③+④得β=(k₁+l₁)α₁+(k₂+l₂)α₂+…+(k_k+l_k)α_k+…+(k_r+l_r)α_r， ⑤ 由于l_k≠0，则k_k+l_k≠k_k，从而可知④与⑤是β的两种不同的表示法，矛盾．所以α₁，α₂，…，α_r线性无关．

解析

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考研数学三

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已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．

考研数学三

=__________

设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________

已知α1，α2，α3，β，γ都是4维列向量，且｜α1，α2，α3，β｜=a，｜β+γ，α3，α2，α1｜=b，则｜2γ，α1，α2，α3｜=________.

设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)充分必要条件是()

(2013年)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0且=2，证明：(I)存在a＞0，使得f(a)=1；(Ⅱ)对(I)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)=。

设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X＝0}＝P{X＝2}＝，Y的概率密度为(Ⅰ)求P{Y≤EY}；(Ⅱ)求Z＝X＋Y的概率密度．

[2013年]设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算

[2013年]设D是由曲线直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴、y轴旋转一周所得旋转体体积，若Vy=10Vx求a的值．

设X1，X2，…，X100相互独立且在区间[一1，1]上同服从均匀分布，则由中心极限定理≈________．

苏武归汉后见到的是

女性，30岁。2年前始有发作性心慌，心悸，偶有晕厥，每年发作1～3次不等，发作时脉搏约200次／分，未经心电图证实。为明确诊断，最佳选择的检查手段为

经肺部吸收的为（　　）。有溶液型、乳剂型、混悬型的为（　　）。

甲围攻打假车队，抢走并砸坏摄像机，抢回制假机器和假烟的行为构成：

对含有少量碎石的黏性土，欲求其天然密度宜采用()。

下列建筑不属于一类建筑的有()。

夫妻财产约定的内容包括夫妻财产约定的生效、变更或撤销约定的程序问题等，其所使用的法律是(　　)。

儒家是中国古代最有影响的学派，对中国、东亚、东南亚乃至全世界都产生过深远的影响。下列有关儒家思想的说法不正确的是()。

下列属于反应时的是()

已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．

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=__________

设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________

已知α1，α2，α3，β，γ都是4维列向量，且｜α1，α2，α3，β｜=a，｜β+γ，α3，α2，α1｜=b，则｜2γ，α1，α2，α3｜=________.

设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)充分必要条件是()

(2013年)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0且=2，证明：(I)存在a＞0，使得f(a)=1；(Ⅱ)对(I)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)=。

设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X＝0}＝P{X＝2}＝，Y的概率密度为(Ⅰ)求P{Y≤EY}；(Ⅱ)求Z＝X＋Y的概率密度．

[2013年]设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算

[2013年]设D是由曲线直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴、y轴旋转一周所得旋转体体积，若Vy=10Vx求a的值．

设X1，X2，…，X100相互独立且在区间[一1，1]上同服从均匀分布，则由中心极限定理≈________．

苏武归汉后见到的是

女性，30岁。2年前始有发作性心慌，心悸，偶有晕厥，每年发作1～3次不等，发作时脉搏约200次／分，未经心电图证实。为明确诊断，最佳选择的检查手段为

经肺部吸收的为（ ）。有溶液型、乳剂型、混悬型的为（ ）。

甲围攻打假车队，抢走并砸坏摄像机，抢回制假机器和假烟的行为构成：

对含有少量碎石的黏性土，欲求其天然密度宜采用()。

下列建筑不属于一类建筑的有()。

夫妻财产约定的内容包括夫妻财产约定的生效、变更或撤销约定的程序问题等，其所使用的法律是( )。

儒家是中国古代最有影响的学派，对中国、东亚、东南亚乃至全世界都产生过深远的影响。下列有关儒家思想的说法不正确的是()。

下列属于反应时的是()

经肺部吸收的为（　　）。有溶液型、乳剂型、混悬型的为（　　）。

夫妻财产约定的内容包括夫妻财产约定的生效、变更或撤销约定的程序问题等，其所使用的法律是(　　)。