已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．

admin2020-09-25 78

问题已知β可以被向量α₁，α₂，…，α_r线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_r线性无关．

选项

答案充分性[*]：假设β有两种表示法 β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r， ① β=l₁α₁+l₂α₂+…+l_rα_r， ② 则k₁，k₂，…，k_r与l₁，l₂，…，l_r中至少有一个i使k_i≠l_i(1≤i≤r)，①一②得 (k₁一l₁)α₁+(k₂一l₂)α₂+…+(k_r一l_r)α_r=0．由于存在i，使k_i≠l_i，即k_i一l_i≠0，所以k₁一l₁，k₂一l₂，…，k_r一l_r为不全为零的数，从而可得α₁，α₂，…，α_r线性相关，矛盾，所以β的表示法唯一．必要性[*]：假设α₁，α₂，…，α_r线性相关，则存在一组不全为零的数l₁，l₂，…，l_r(不妨设l_k≠0)，使l₁α₁+l₂α₂+…+l_kα_k+…+l_rα_r=0． ③ 若β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r， ④ 则③+④得β=(k₁+l₁)α₁+(k₂+l₂)α₂+…+(k_k+l_k)α_k+…+(k_r+l_r)α_r， ⑤ 由于l_k≠0，则k_k+l_k≠k_k，从而可知④与⑤是β的两种不同的表示法，矛盾．所以α₁，α₂，…，α_r线性无关．

解析

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考研数学三

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