已知β可以被向量α1,α2,…,αr线性表示,证明:表示法唯一的充分必要条件是α1,α2,…,αr线性无关.

admin2020-09-25  39

问题 已知β可以被向量α1,α2,…,αr线性表示,证明:表示法唯一的充分必要条件是α1,α2,…,αr线性无关.

选项

答案充分性[*]:假设β有两种表示法 β=k1α1+k2α2+…+krαr, ① β=l1α1+l2α2+…+lrαr, ② 则k1,k2,…,kr与l1,l2,…,lr中至少有一个i使ki≠li(1≤i≤r),①一②得 (k1一l11+(k2一l22+…+(kr一lrr=0. 由于存在i,使ki≠li,即ki一li≠0,所以k1一l1,k2一l2,…,kr一lr为不全为零的数,从而可得α1,α2,…,αr线性相关,矛盾,所以β的表示法唯一. 必要性[*]:假设α1,α2,…,αr线性相关,则存在一组不全为零的数l1,l2,…,lr(不妨设lk≠0),使l1α1+l2α2+…+lkαk+…+lrαr=0. ③ 若β=k1α1+k2α2+…+krαr, ④ 则③+④得β=(k1+l11+(k2+l22+…+(kk+lkk+…+(kr+lrr, ⑤ 由于lk≠0,则kk+lk≠kk,从而可知④与⑤是β的两种不同的表示法,矛盾.所以α1,α2,…,αr线性无关.

解析
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