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  3. 已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．

已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．

admin2020-09-25  43
问题 已知β可以被向量α1，α2，…，αr线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αr线性无关．
选项
答案充分性[*]：假设β有两种表示法 β=k1α1+k2α2+…+krαr， ① β=l1α1+l2α2+…+lrαr， ② 则k1，k2，…，kr与l1，l2，…，lr中至少有一个i使ki≠li(1≤i≤r)，①一②得 (k1一l1)α1+(k2一l2)α2+…+(kr一lr)αr=0． 由于存在i，使ki≠li，即ki一li≠0，所以k1一l1，k2一l2，…，kr一lr为不全为零的数，从而可得α1，α2，…，αr线性相关，矛盾，所以β的表示法唯一． 必要性[*]：假设α1，α2，…，αr线性相关，则存在一组不全为零的数l1，l2，…，lr(不妨设lk≠0)，使l1α1+l2α2+…+lkαk+…+lrαr=0． ③ 若β=k1α1+k2α2+…+krαr， ④ 则③+④得β=(k1+l1)α1+(k2+l2)α2+…+(kk+lk)αk+…+(kr+lr)αr， ⑤ 由于lk≠0，则kk+lk≠kk，从而可知④与⑤是β的两种不同的表示法，矛盾．所以α1，α2，…，αr线性无关．
解析
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考研数学三

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