一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?

admin2019-11-25 41

问题一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?

选项

答案设链条的线密度为ρ，取x轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂x(t)m，则下垂那段的长度为(10＋x)m，另一段长度为(8－x)m，此时链条受到的重力为(10＋x)ρg－(8－x)ρg＝2(x＋1)ρg．链条的总重量为18ρ，由牛顿第二定理F＝ma得 18ρ[*]＝2ρg(x＋1)，即[*]，且x(0)＝0，x’(0)＝0，解得x(t)＝[*]，当链条滑过整个钉子时，x＝8，由[*]＝8得t＝[*]ln(9＋[*])．

解析

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考研数学三

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设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2
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