设L：+y2=1(x≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与曲线所围成面积的最小值．

admin2021-01-14 55

问题设L：

+y²=1(x≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与曲线所围成面积的最小值．

选项

答案首先求切线与坐标轴围成的面积．设M(x，y)∈L，过点M的L的切线方程为[*] 令Y=0，得X=[*]，切线与x轴的交点为P[*] 令X=0，得Y=[*]，切线与y轴交点为Q[*] 切线与椭圆围成的图形面积为S(x，y)=[*] 其次求最优解．方法一：设F(x，y，λ)=xy+λ[*] [*] 由D=[*]=λ²一1=0，得λ=一1(λ=1舍去)，代入①，得y=[*]，再代入③，得[*] 方法二：由①，②，得y=[*]，x=一2λy，两式相除，得[*]，代入③，得[*] 方法三：令L：[*] 当t=[*]时所围成的面积的最小，且最小值为S=2一[*]

解析

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考研数学二

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(15年)设A＞0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤)及直线y=0,所围成的平面区域，V1,V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积．若V1=V2，求A的值．
(1987年)(1)设f(χ)在[a，b]内可导，且f′(χ)＞0，则f(χ)在(a，b)内单调增加．(2)设g(χ)在χ＝c处二阶可导，且g′(c)＝0，g〞(c)＜0，则g(c)为g(χ)的一个极大值．
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(，1／2)，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程；
(1993年)设y＝sin[f(χ2)]，其中f具有二阶导数，求．
设D是由曲线，直线x＝a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vx分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy＝10Vx，求a的值．
设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=f()满足等式若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式。
[2013年]设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．
对n元实二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T。试证f在条件x12+x22+…+xn2=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
求下列积分。(I)设f(x)=∫1-xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx；(Ⅱ)设函数f(x)在[0，1]连续且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。
如果n阶矩阵A的秩r(A)≤1，(n＞1)，则A的特征值为0，0，…，0，tr(A)．

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女性，20岁，多饮，多尿，消瘦3周，厌食，腹痛半天，血糖24．5mmol／L(441mg／dl)。为早期发现肾血管并发症，应定期检查
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