已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的正惯性指数为p=1，r(A)=3，且A2-2A-3E=0，则二次型在正交变换下的标准形为________．

admin2022-05-20 74

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的正惯性指数为p=1，r(A)=3，且A²-2A-3E=0，则二次型在正交变换下的标准形为________．

选项

答案3y₁²-y₂²-y₃²

解析设Aα=λα，λ为A的任一特征值，α为其对应的特征向量，则由
(A²-2A-3E)α=0，
可得(λ²-2λ-3)α=0，即λ²-2λ-3=0，解得λ=3或λ=-1．
由P=1，知q=r(A)-P=3-1=2，故A的特征值为3，-1，-1，从而二次型在正交变换下的标准形为3y₁²-y₂²-y₃²．

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