已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的正惯性指数为p=1,r(A)=3,且A2-2A-3E=0,则二次型在正交变换下的标准形为________.

admin2022-05-20  31

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的正惯性指数为p=1,r(A)=3,且A2-2A-3E=0,则二次型在正交变换下的标准形为________.

选项

答案3y12-y22-y32

解析 设Aα=λα,λ为A的任一特征值,α为其对应的特征向量,则由
    (A2-2A-3E)α=0,
可得(λ2-2λ-3)α=0,即λ2-2λ-3=0,解得λ=3或λ=-1.
    由P=1,知q=r(A)-P=3-1=2,故A的特征值为3,-1,-1,从而二次型在正交变换下的标准形为3y12-y22-y32
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