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已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的正惯性指数为p=1,r(A)=3,且A2-2A-3E=0,则二次型在正交变换下的标准形为________.
已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的正惯性指数为p=1,r(A)=3,且A2-2A-3E=0,则二次型在正交变换下的标准形为________.
admin
2022-05-20
31
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax的正惯性指数为p=1,r(A)=3,且A
2
-2A-3E=0,则二次型在正交变换下的标准形为________.
选项
答案
3y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
解析
设Aα=λα,λ为A的任一特征值,α为其对应的特征向量,则由
(A
2
-2A-3E)α=0,
可得(λ
2
-2λ-3)α=0,即λ
2
-2λ-3=0,解得λ=3或λ=-1.
由P=1,知q=r(A)-P=3-1=2,故A的特征值为3,-1,-1,从而二次型在正交变换下的标准形为3y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YGR4777K
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考研数学三
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