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曲线y=(x—1)2(x-3)2的拐点个数为
曲线y=(x—1)2(x-3)2的拐点个数为
admin
2014-05-19
75
问题
曲线y=(x—1)
2
(x-3)
2
的拐点个数为
选项
A、0.
B、1
C、2
D、3
答案
C
解析
[分析] 可能的拐点是二阶导数为零或二阶导数不存在的点,本题二阶导数均存在,因此只需求出二阶导数为零的点,再根据二阶导数存零点左、右两侧(或三阶导数在零点)的符号进行判断即可.
[详解1] 因为
y’=4(x-1)(x-2)(x-3),
y"=4(3x
2
-12x+11),
y’’’=24(x-2).
显然y"=0有两个零点,且在此两点处三阶导数y’’’≠0,因此曲线有两个拐点.故应选(C).
[详解2] 由于所给函数光滑、特殊,因此不必计算二阶导数即可判断出拐点的个数.
首先,y是4次多项式,其曲线最多拐3个“弯儿”,因此拐点最多有2个.其次,x=1,x=3是极小点,在两点之间必有唯一的极大点,设为x
0
.又
,y的大致图形如图1—2—5所示.于是在(1,x
0
)和(x
0
,3)内各有一个拐点.故应选(C).
[评注] 本题从一阶导函数有三个零点即知y"有两个零点,且显然不为2,故三阶导数一定非零,从而知曲线有两个拐点.
一般地,若f"(x
0
)=0,y’’’(x
0
)≠0,则点(x
0
,f(x
0
))一定是曲线y=f(x)的拐点,事实上,由
,知f’’’(x
0
)在x=x
0
的左、右两侧变号,即曲线的凹向改变,因此点(x
0
,f(x
0
))为拐点.
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考研数学二
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