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  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0 l2：ax+2cy+3a=0 l3：ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0 l2：ax+2cy+3a=0 l3：ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2019-07-19  25
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：ax+2by+3c=0
l2：ax+2cy+3a=0
l3：ax+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
选项
答案必要性 设三直线l1，l2，l3交于一点，则二元线性方程组 [*] =3(a+b+c)[(a—b)2一(b—c)2+(c—a)2] 及 (a—b)2+(b—c)(c—a)2≠0， (否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0． 充分性 若a+b+c=0，则由必要性的证明知[*]，又系数矩阵A中有一个二阶于式 [*] 故秩(A)=2，于是有秩(A)=秩(A)=2，因此方程组(*)有惟一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．@注释@本题在将几何问题转化为代数问题之后，证法1主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件，证法2主要利用了Cramer法则的结果．注意，由于平面直线的方程是二元一次方程，故本题实际上隐含了下述条件：a与b不同时为零，b与c不同时为零，c与a不同时为零，本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件．
解析 本题在将几何问题转化为代数问题之后，证法1主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件，证法2主要利用了Cramer法则的结果．注意，由于平面直线的方程是二元一次方程，故本题实际上隐含了下述条件：a与b不同时为零，b与c不同时为零，c与a不同时为零，本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件．
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考研数学一

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