已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0 l2:ax+2cy+3a=0 l3:ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.

admin2019-07-19  17

问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax+2by+3c=0
l2:ax+2cy+3a=0
l3:ax+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.

选项

答案必要性 设三直线l1,l2,l3交于一点,则二元线性方程组 [*] =3(a+b+c)[(a—b)2一(b—c)2+(c—a)2] 及 (a—b)2+(b—c)(c—a)2≠0, (否则a=b=c,则三条直线重合,从而有无穷多个交点,与交点惟一矛盾),所以a+b+c=0. 充分性 若a+b+c=0,则由必要性的证明知[*],又系数矩阵A中有一个二阶于式 [*] 故秩(A)=2,于是有秩(A)=秩(A)=2,因此方程组(*)有惟一解,即三直线l1,l2,l3交于一点.@注释@本题在将几何问题转化为代数问题之后,证法1主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件,证法2主要利用了Cramer法则的结果.注意,由于平面直线的方程是二元一次方程,故本题实际上隐含了下述条件:a与b不同时为零,b与c不同时为零,c与a不同时为零,本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件.

解析 本题在将几何问题转化为代数问题之后,证法1主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件,证法2主要利用了Cramer法则的结果.注意,由于平面直线的方程是二元一次方程,故本题实际上隐含了下述条件:a与b不同时为零,b与c不同时为零,c与a不同时为零,本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件.
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