证明不等式3x＜tanx＋2sinx,x∈(0，π／2)。

admin2019-12-24 38

问题证明不等式3x＜tanx＋2sinx,x∈(0，π／2)。

选项

答案设f(x)＝tanx＋2sinx－3x，x∈(0，π／2)，则f’(x)＝sec²x＋2cosx－3， f’’(x)＝2sec²xtanx－2sinx＝2sinx(sec³x－1)，由于当x∈(0，π／2)时，sinx＞0， sec³x－1＞0，则f’’(x)＞0，函数f’(x)＝sec²x＋2cosx－3为增函数，且f’(0)＝0，因此x∈(0，π／2)时， f’(x)＝sec²x＋2cosx－3＞0，进一步得出函数f(x)为增函数，由于f(0)＝0，因此 f(x)＝tanx＋2sinx－3x＞f(0)＝0，x∈(0，π／2)，即不等式3x＜tanx＋2sinx,x∈(0，π／2)成立。

解析将不等式两边函数相减构造辅助函数，根据辅助函数的单调性证明。辅助函数求一次导如果无法确定单调性，可通过二次导结合端点值来判断一阶导的正负。

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考研数学三

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