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设函数p(x)，g(x)，f(x)均连续，y1(x)，y2(x)，y3(x)是微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则这个方程对应的齐次方程的通解是 ( )
设函数p(x)，g(x)，f(x)均连续，y1(x)，y2(x)，y3(x)是微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则这个方程对应的齐次方程的通解是 ( )
admin
2020-04-22
15
问题
设函数p(x)，g(x)，f(x)均连续，y
1
(x)，y
2
(x)，y
3
(x)是微分方程y
’’
+p(x)y
’
+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，C
1
与C
2
是两个任意常数，则这个方程对应的齐次方程的通解是 ( )
选项
A、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
1
—C
2
)y
2
一(C
1
+C
2
)y
3
．
B、(C
1
—C
2
)y
1
+(C
2
—C
1
)y
2
+(C
1
一C
2
)y
3
．
C、(C
1
+C
2
)y
1
+(1一C
1
)y
2
一(1+C
2
)y
3
．
D、(C
1
一C
2
)y
1
+(1一C
1
)y
2
+C
2
y
3
．
答案
C
解析
一般有下述结论：①如果y
1
，y
2
，y
3
是二阶线性非齐次方程的3个解，则当且仅当a+b+c=1时，它们的线性组合ay
1
+by
2
+cy
3
也是该方程的解．②如果进一步设y
1
，y
2
y
3
是该方程的3个线性无关的解，并且a，b，c中含有2个任意常数，则当且仅当a+b+c=1时，它们的线性组合ay
1
+by
2
+cy
3
是该方程的通解．③设同①，则当且仅当a+b+c=0时，它们的线性组合ay
1
+by
2
+cy
3
是该方程对应的齐次方程的解．④设同②，则当且仅当a+b+c=0，它们的线性组合ay
1
+by
2
+cy
3
是该方程对应的齐次方程的通解．本题选项C满足上述条件④，所以应选C．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Yzv4777K
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考研数学一
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