假设G={(x，y)｜x2+y2≤r2}，而随机变量X和Y的联合分布是在区域G上的均匀分布．试确定随机变量X和y的独立性和相关性．

admin2018-09-25 54

问题假设G={(x，y)｜x²+y²≤r²}，而随机变量X和Y的联合分布是在区域G上的均匀分布．试确定随机变量X和y的独立性和相关性．

选项

答案X和Y的联合概率密度为 [*] 那么X的概率密度₁f(x)和Y的概率密度f₂(y)分别为 [*] 由于f(x，y)≠f₁(x)f₂(y)，所以随机变量X和Y不独立．证明X和Y不相关，即证X和Y的相关系数ρ=0．因 EX=∫_－∞^+∞xf₁(x)dx [*] 因此有Cov(X，Y)=E(XY)=∫_－∞^+∞∫_－∞^+∞xyf(x，y)dxdy= [*] 于是X和Y的相关系数ρ=0．故X和Y不相关，但也不独立．

解析

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