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已知3阶矩阵A=有一个二重特征值,求a,并讨论A是否相似于对角矩阵.
已知3阶矩阵A=有一个二重特征值,求a,并讨论A是否相似于对角矩阵.
admin
2019-05-11
81
问题
已知3阶矩阵A=
有一个二重特征值,求a,并讨论A是否相似于对角矩阵.
选项
答案
(1)求a. A的特征多项式为 [*] =(λ-2)(λ
2
-8λ+18+3a). 要使得它有二重根,有两种可能的情况: ①2是二重根,即2是λ
2
-8λ+18+3a的根,即4-16+18+3a=0,求出a=-2,此时三个特征值为2,2,6. ②2是一重根,则λ
2
-8λ+18+3a有二重根,λ
2
-8λ+18+3a=(λ-4)
2
,求出a=-2/3.此时三个特征值为2,4,4. (2)讨论A是否相似于对角矩阵. ①当a=-2时,对二重特征值2,考察3-r(A-2E)是否为2 7即r(A-2E)是否为1 A-2E=[*],r(A-2E)=1,此时A可相似对角化 ②当a=-2/3时,对二重特征值4,考察3-r(A-4E)是否为2!即r(A-4E)是否为1 A-4E=[*],r(A-4E)=2,此时A不相似于对角矩阵.
解析
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考研数学二
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