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根据下列条件,进行回答。 任取x0>0,令xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…),证明存在,并求其值。
根据下列条件,进行回答。 任取x0>0,令xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…),证明存在,并求其值。
admin
2022-03-23
109
问题
根据下列条件,进行回答。
任取x
0
>0,令x
n
=2ln(1+x
n-1
)(n=1,2,…),证明
存在,并求其值。
选项
答案
由题设x
n
=2ln(1+x
n-1
)(n=1,2,…) 由第一问,当0<x
0
<ξ时,x
0
<2ln(1+x
0
)=x
1
,由数学归纳法,知{x
n
}单调增加。 又因为2ln(1+x)单调增加,所以对于任意的x∈(0,ξ),有2ln(1+x)<2ln(1+ξ),于是x
1
=2ln(1+x
0
)<2ln(1+ξ)=ξ. 由数学归纳法,有x
n
<ξ(n=1,2,...),即{x
n
}有界,故由单调有界准则,知[*] 在x
0
=2ln(1+x
n-1
)的两端分别取极限,得A=2ln(1+A),由上一问得知,A=ξ 当x
0
>ξ时,同理可证[*]x
n
=ξ 当x
0
=ξ时,x
n
=ξ 证明完毕。
解析
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考研数学三
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