2. 考研
  3. 根据下列条件，进行回答。 任取x0＞0，令xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…)，证明存在，并求其值。

根据下列条件，进行回答。 任取x0＞0，令xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…)，证明存在，并求其值。

admin2022-03-23  119
问题 根据下列条件，进行回答。
任取x0＞0，令xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…)，证明存在，并求其值。
选项
答案由题设xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…) 由第一问，当0＜x0＜ξ时，x0＜2ln(1+x0)=x1，由数学归纳法，知{xn}单调增加。 又因为2ln(1+x)单调增加，所以对于任意的x∈(0,ξ)，有2ln(1+x)＜2ln(1+ξ),于是x1=2ln(1+x0)＜2ln(1+ξ)=ξ. 由数学归纳法，有xn＜ξ（n=1,2,...),即{xn}有界，故由单调有界准则，知[*] 在x0=2ln(1+xn-1)的两端分别取极限，得A=2ln(1+A)，由上一问得知，A=ξ 当x0＞ξ时，同理可证[*]xn=ξ 当x0=ξ时，xn=ξ 证明完毕。
解析
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考研数学三

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