首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知向量组(Ⅰ):α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4.证明:向量组(Ⅳ):α1,α2,α3,α5一α4的秩为4.
已知向量组(Ⅰ):α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4.证明:向量组(Ⅳ):α1,α2,α3,α5一α4的秩为4.
admin
2019-07-16
71
问题
已知向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,α
3
;(Ⅱ)α
1
,α
2
,α
3
,α
4
;(Ⅲ):α
1
,α
2
,α
3
,α
5
.如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4.证明:向量组(Ⅳ):α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一α
4
的秩为4.
选项
答案
证1 因R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,所以α
1
,α
2
,α
3
线性无关,而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,故存在数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得 α
4
=λ
1
α
1
+λ
1
α
2
+λ
1
α
3
(*) 设有数k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(α
5
一α
4
)=0将(*)式代入上式并化简,得 (k
1
一λ
1
k
4
)α
1
+(k
2
一λ
2
k
4
)α
2
+(k
3
一λ
3
k
4
)α
3
+k
4
α
5
=0,由R(Ⅲ)=4知α
1
,α
2
,α
3
,α
5
线性无关,所以 [*]得k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0,故α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一α
4
线性无关,即其秩为4. △证2 同证1可知存在数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得 α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
所以有 α
5
一α
4
=一λ
1
α
1
一λ
2
α
2
一λ
3
α
3
+α
5
即α
5
一α
4
可由向量组(Ⅲ)线性表示,于是知(Ⅳ)可由(Ⅲ)线性表示.又 α
5
一α
4
+(α
5
一α
4
)=λ
1
α
5
+λ
1
α
5
+λ
3
α
5
+(α
5
一α
4
)即α
5
可由向量组。(Ⅳ)线性表示,于是知(Ⅲ)可由(Ⅳ)线性表示.因此,向量组(Ⅲ)。与向量组(Ⅳ)等价,=>R(Ⅳ)=R(Ⅲ)=4.
解析
本题主要考查向量组线性相关性的概念及线性相关性与向量组的秩的关系.注意证1是利用定义证明向量组(Ⅳ)线性无关,其中利用了“若α
1
,…,α
r
线性先关,而α
1
,…α
r
,β线性相关,则β可由α
1
,…,α
r
线性表示”的结论.证2则利用了“等价的向量组必具有相同的秩”这一结论.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XNJ4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设随机变量X的密度函数为f(x),方差DX=4,而随机变量Y的密度函数为2f(一2y),且X与Y的相关系数记Z=X+2Y.(I)求EZ,DZ;(Ⅱ)用切比雪夫小等式估计概率P{|Z|≥4}.
设P为可逆矩阵,A=PTP.证明:A是正定矩阵.
设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明:存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.
设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明:AB=BA;
设矩阵为A*对应的特征向量.判断A可否对角化.
设α1,α2,…,αn为n个n维线性无关的向量,A是n阶矩阵.证明:Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆.
设A为n阶矩阵,证明:其中n≥2.
向量组α1,α2,…,αm线性无关的充分必要条件是().
位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0,2),在该点处的切线水平,曲线上任一点(x,y)处的曲率与及1+y’2之积成反比,比例系数为求y=y(x).
电话公司有300台分机,每台分机有6%的时间处于与外线通话状态,设每台分机是否处于通话状态相互独立,用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95?
随机试题
在波士顿矩阵法中,市场占有率较高,而业务增长率较低的经营单位,被称为()。
女性淋病主要感染部位是
A.月经先期肝郁血热证B.月经先期肾气不固证C.月经先期阳盛血热证D.经间期出血肾阴虚证E.经间期出血血瘀证逐瘀止血汤治疗月经失调,适用于
编制矿井初步设计文件的依据包括()。
某高速公路项目,路面面层为沥青混凝土,基层为级配碎石,项目经理部决心精心组织、科学施工,搞好现场技术质量管理,做了包括如下环节的工作:——项目经理部由总工程师组织进行了技术交底;——为真正落实公司的现场技术管理制度制定了执行细则,其中,为避免放样偏位,
增值税专用发票只限于______领购使用,______及______不得领购使用。
在体育教学过程中,一般要经历一个由不会到会、由不熟练到熟练、由不巩固到巩固的发展过程。这是哪一规律的具体描述?()
根据下面材料回答下列题。据海关统计数据显示:2004年1—10月,医药产品进出口贸易总额为87.39亿美元,同比增长19.04%。其中出口45.61亿美元,增长13.11%;进口41.78亿美元,增长25.3%。从贸易结构看,2004年前10
在窗体上画一个驱动器列表框、一个目录列表框和一个文件列表框,其名称分别为Dhvel、Dirl和File1。为了使它们同步操作,必须触发Drive1_Change()事件和Dir1_Change()事件,在这两个事件中执行的语句分别是【】和【】。
—Ican’tfindmypencil!—______isonthedesk.
最新回复
(
0
)