2. 考研
  3. 已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．

已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．

admin2019-07-16  111
问题 已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．
选项
答案证1 因R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3，使得 α4=λ1α1+λ1α2+λ1α3 (*) 设有数k1，k2，k3，k4，使得 k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5一α4)=0将(*)式代入上式并化简，得 (k1一λ1k4)α1+(k2一λ2k4)α2+(k3一λ3k4)α3+k4α5=0，由R(Ⅲ)=4知α1，α2，α3，α5线性无关，所以 [*]得k1=k2=k3=k4=0，故α1，α2，α3，α5一α4线性无关，即其秩为4． △证2 同证1可知存在数λ1，λ2，λ3，使得 α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3所以有 α5一α4=一λ1α1一λ2α2一λ3α3+α5即α5一α4可由向量组(Ⅲ)线性表示，于是知(Ⅳ)可由(Ⅲ)线性表示．又 α5一α4+(α5一α4)=λ1α5+λ1α5+λ3α5+(α5一α4)即α5可由向量组。(Ⅳ)线性表示，于是知(Ⅲ)可由(Ⅳ)线性表示．因此，向量组(Ⅲ)。与向量组(Ⅳ)等价，=>R(Ⅳ)=R(Ⅲ)=4．
解析 本题主要考查向量组线性相关性的概念及线性相关性与向量组的秩的关系．注意证1是利用定义证明向量组(Ⅳ)线性无关，其中利用了“若α1，…，αr线性先关，而α1，…αr，β线性相关，则β可由α1，…，αr线性表示”的结论．证2则利用了“等价的向量组必具有相同的秩”这一结论．
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考研数学三

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