设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)-3∫0xf(t-x)dt=-3x+2，求f(x).

admin2021-12-14 7

问题设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)-3∫₀^xf(t-x)dt=-3x+2，求f(x).

选项

答案∫₀^xf(t-x)dt=-∫₀^xf(t-z)d(x-t)[*]-∫_x⁰f(-u)du=∫₀^xf(u)du，则有f′(x)+2f(x)-3∫₀^xf(u)du=-3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f′(x)是奇函数，于是f′(0)=0，代入上式得f(0)=1. 将f′(x)+2f(x)-3∫₀^xf(u)du=-3x+2两边对x求导得 f″(x)+2f′(x)-3f(x)=-3，其通解为f(x)=C¹e^x+C²e^-3x+1，将初始条件代入f(x)，得C₁=C₂=0，所以f(x)=1.

解析

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考研数学一

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