已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα－2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

admin2017-06-14 39

问题已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3Aα－2A²α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

选项

答案由于A³α+2A²α－3Aα=0，有 A(A²α+2Aα－3α)=0=0(A²α+2Aα－3α)．因为α，Aα，A²α线性无关，故必有A²α+2Aα－3α≠0，所以λ=0是A的特征值， A²α+2Aα－3α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．类似地，由A³α+2A²α－3Aα=0，有 (A—E)(A²α+3Aα)=0=0(A²α+3Aα)， (A+3E)(A²α—Aα)=0=0(A²α—Aα)．所以，λ=1是A的特征值，A²α+3Aα是属于λ=1的特征向量；λ=－3是A的特征值， A²α—Aα是属于λ=－3的特征向量．

解析

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