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已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
admin
2017-06-14
24
问题
已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα-2A
2
α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
选项
答案
由于A
3
α+2A
2
α-3Aα=0,有 A(A
2
α+2Aα-3α)=0=0(A
2
α+2Aα-3α). 因为α,Aα,A
2
α线性无关,故必有A
2
α+2Aα-3α≠0,所以λ=0是A的特征值, A
2
α+2Aα-3α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量. 类似地,由A
3
α+2A
2
α-3Aα=0,有 (A—E)(A
2
α+3Aα)=0=0(A
2
α+3Aα), (A+3E)(A
2
α—Aα)=0=0(A
2
α—Aα). 所以,λ=1是A的特征值,A
2
α+3Aα是属于λ=1的特征向量;λ=-3是A的特征值, A
2
α—Aα是属于λ=-3的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZZu4777K
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考研数学一
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