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设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0.若极限存在,证明: (1)在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ,使 (3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f’(η)(b2一a2)=∫ab
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0.若极限存在,证明: (1)在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ,使 (3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f’(η)(b2一a2)=∫ab
admin
2017-04-24
58
问题
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0.若极限
存在,证明:
(1)在(a,b)内f(x)>0;
(2)在(a,b)内存在点ξ,使
(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f’(η)(b
2
一a
2
)=
∫
a
b
f(x)dx.
选项
答案
(1)由[*]f(2x一a)=0,由f(x)在[a,b]上的连续知,f(a)=0. 又f’(x)>0,则 f(x)在(a,b)内单调增加,故 f(x)>f(a)=0, x∈(a,b) (2)设F(x)=x
2
,g(x)=∫
a
x
f(t)dt (a≤x≤b) 则g’(x)=f(x)>0,故F(x),g(x)满足柯希中值定理的条件,于是在(a,b)内存在点ξ,使 [*] (3)在[a,ξ]上对f(x)用拉格朗日中值定理得,存在η∈(a,ξ),使 f(ξ)一 f(a)=f’(η)(ξ一a) 即 f(ξ)=f’(η)(ξ一a) 代入(2)中的结论得 [*]
解析
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考研数学二
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