2. 考研
  3. 已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T， 又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1，1，2，1)T，β2=(O，一3，1，a)T， (I)求矩阵A； (Ⅱ)如果齐次线性方程组Ax=

已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T， 又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1，1，2，1)T，β2=(O，一3，1，a)T， (I)求矩阵A； (Ⅱ)如果齐次线性方程组Ax=

admin2020-05-16  57
问题 已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是
η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T，
又知齐次方程组Bx=0的基础解系是
β1=(1，1，2，1)T，β2=(O，一3，1，a)T，
(I)求矩阵A；
(Ⅱ)如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．
选项
答案(Ⅰ)记C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，则矩阵AT的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次线性方程组CTx=0的解．对CT作初等行变换，有 [*] 得到CTx=0的基础解系为α1=(3，一1，1，0)T，α2=(一5，1，0，1)T． 所以矩阵[*] (Ⅱ)设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ，则γ既可由η1，η2线性表出，也可由β1，β2线性表出，故可设 γ=x1η1+x2η2=-x3β1一x4β2， 于是 x1η1+x2η2+x3β1+x4β2=0． 对(η1，η2，β1，β2)作初等行变换，有 [*] 当a=0时，解出x4=t，x3=一t，x2=一t，x1=2t． 因此Ax=0与Bx=0的公共解为γ=2tη1—tη2=t(1，4，1，1)T，其中t为任意常数。
解析
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考研数学三

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