设φ(x)具有一阶连续的导数，φ(0)=1，并设 [y2+xy+φ(x)y]dx+[φ(x)+2y]dy=0 为全微分方程，求φ(x)及此全微分方程的通解．

admin2020-04-02 45

问题设φ(x)具有一阶连续的导数，φ(0)=1，并设
[y²+xy+φ(x)y]dx+[φ(x)+2y]dy=0
为全微分方程，求φ(x)及此全微分方程的通解．

选项

答案由全微分方程的充要条件得φ(x)满足 [*] 即 φ′(x)－φ(x)=x 解得[*] 再由φ(0)=1可得C=2，从而 φ(x)=－x－1+2e^－x 因此，所给全微分方程为 (y²－y+2ye^x)dx+(2xy－x－1+2e^x)dy=0 又 (y²－y+2ye²)dx+(2xy－x－1+2e^x)dy =(y²dx+2xydy)－(ydx+xdy)+2(ye^xdx+e^xdy)－dy =d(xy²－xy+2ye^x－y) 故所求通解为 xy²－xy+2ye^x－y=C

解析

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