2. 考研
  3. 设φ(x)具有一阶连续的导数，φ(0)=1，并设 [y2+xy+φ(x)y]dx+[φ(x)+2y]dy=0 为全微分方程，求φ(x)及此全微分方程的通解．

设φ(x)具有一阶连续的导数，φ(0)=1，并设 [y2+xy+φ(x)y]dx+[φ(x)+2y]dy=0 为全微分方程，求φ(x)及此全微分方程的通解．

admin2020-04-02  24
问题 设φ(x)具有一阶连续的导数，φ(0)=1，并设
    [y2+xy+φ(x)y]dx+[φ(x)+2y]dy=0
为全微分方程，求φ(x)及此全微分方程的通解．
选项
答案由全微分方程的充要条件得φ(x)满足 [*] 即 φ′(x)－φ(x)=x 解得[*] 再由φ(0)=1可得C=2，从而 φ(x)=－x－1+2e－x 因此，所给全微分方程为 (y2－y+2yex)dx+(2xy－x－1+2ex)dy=0 又 (y2－y+2ye2)dx+(2xy－x－1+2ex)dy =(y2dx+2xydy)－(ydx+xdy)+2(yexdx+exdy)－dy =d(xy2－xy+2yex－y) 故所求通解为 xy2－xy+2yex－y=C
解析
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考研数学一

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