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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=∫abf(x)dx,试证:存在一点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=∫abf(x)dx,试证:存在一点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.
admin
2017-07-26
41
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=
∫
a
b
f(x)dx,试证:存在一点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.
选项
答案
作辅助函数F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.由拉格朗日定理可知,存在点η∈(a,b),使得F’(η)=[*],即 f(η)=[*]∫
a
b
f(x)dx=f(a)=f(b). 于是,在区间[a,η]和[η,b]上分别应用洛尔定理,可知存在点ξ
1
∈(a,η),ξ
2
∈(η,b),使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.再对f’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上应用洛尔定理,可知存在点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得f"(ξ)=0.
解析
由洛尔定理可知:要证存在一点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0,
对F(x)=∫
a
x
f(t)dt由拉格朗日定理便可找到这样的点η.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZuH4777K
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考研数学三
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