设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=∫abf(x)dx,试证:存在一点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.

admin2017-07-26  20

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=abf(x)dx,试证:存在一点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0.

选项

答案作辅助函数F(x)=∫axf(t)dt,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.由拉格朗日定理可知,存在点η∈(a,b),使得F’(η)=[*],即 f(η)=[*]∫abf(x)dx=f(a)=f(b). 于是,在区间[a,η]和[η,b]上分别应用洛尔定理,可知存在点ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b),使得f(ξ1)=f(ξ2)=0.再对f’(x)在[ξ1,ξ2]上应用洛尔定理,可知存在点ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得f"(ξ)=0.

解析 由洛尔定理可知:要证存在一点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=0,
   
对F(x)=∫axf(t)dt由拉格朗日定理便可找到这样的点η.
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