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已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyfxy’’(x,y)dxdy。
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyfxy’’(x,y)dxdy。
admin
2021-11-09
78
问题
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
xyf
xy
’’
(x,y)dxdy。
选项
答案
将二重积分[*]xyf
xy
’’
(x,y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf
xy
’’
(x,y)dxdy=∫
0
1
dy∫
0
1
xyf
xy
’’
(x,y)dx。 首先考虑∫
0
1
xyf
xy
’’
(x,y)dx,注意这里把变量y看作常数,故有 ∫
0
1
xyf
xy
’’
(x,y)dx=y∫
0
1
xdf
y
’
(x,y) =xyf
y
’
(x,y)|
0
1
-∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dx =yf
y
’
(1,y)一∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dx。 由f(1,y)=f(x,1)=0易知,f
y
’
(1,y)=f
x
’
(x,1)=0。所以 ∫
0
1
xyf
xy
’’
(x,y)dx=一∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dx。 因此 [*]xyf
xy
’’
(x,y)dxdy=∫
0
1
dy∫
0
1
xyf
xy
’’
(x,y)dx=一∫
0
1
dy∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dx, 对该积分交换积分次序可得, 一∫
0
1
dy∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dx=一∫
0
1
dx∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dy。 再考虑积分∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dy,注意这里把变量x看作常数,故有 ∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dy=∫
0
1
ydf(x,y) =yf(x,y)|
0
1
一∫
0
1
f(x,y)dy =一∫
0
1
f(x,y)dy, 因此[*]xyf
xy
’’
(x,y)dxdy=一∫
0
1
dx∫
0
1
yf
y
’
(x,y)dy =∫
0
1
dx∫
0
1
f(x,y)dy =[*]f(x,y)dxdy=a。
解析
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考研数学二
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