已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，计算二重积分I=xyfxy’’(x，y)dxdy。

admin2021-11-09 41

问题已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，

f(x，y)dxdy=a，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，计算二重积分I=

xyf_xy^’’(x，y)dxdy。

选项

答案将二重积分[*]xyf_xy^’’(x，y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf_xy^’’(x，y)dxdy=∫₀¹dy∫₀¹xyf_xy^’’(x，y)dx。首先考虑∫₀¹xyf_xy^’’(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫₀¹xyf_xy^’’(x，y)dx=y∫₀¹xdf_y^’(x，y) =xyf_y^’(x，y)｜₀¹－∫₀¹yf_y^’(x，y)dx =yf_y^’(1，y)一∫₀¹yf_y^’(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知，f_y^’(1，y)=f_x^’(x，1)=0。所以 ∫₀¹xyf_xy^’’(x，y)dx=一∫₀¹yf_y^’(x，y)dx。因此 [*]xyf_xy^’’(x，y)dxdy=∫₀¹dy∫₀¹xyf_xy^’’(x，y)dx=一∫₀¹dy∫₀¹yf_y^’(x，y)dx，对该积分交换积分次序可得，一∫₀¹dy∫₀¹yf_y^’(x，y)dx=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y^’(x，y)dy。再考虑积分∫₀¹yf_y^’(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫₀¹yf_y^’(x，y)dy=∫₀¹ydf(x，y) =yf(x，y)｜₀¹一∫₀¹f(x，y)dy =一∫₀¹f(x，y)dy，因此[*]xyf_xy^’’(x，y)dxdy=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y^’(x，y)dy =∫₀¹dx∫₀¹f(x，y)dy =[*]f(x，y)dxdy=a。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Zwy4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，计算二重积分I=xyfxy’’(x，y)dxdy。

考研数学二

设f(χ)连续，则tn-1f(χn－tn)dt＝_______．

二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－2χ2)2＋4χ2χ3的矩阵为_______．

设z＝f(eχsiny，χy)，其中f二阶连续可偏导，求．

函数z＝f(χ，y)在点(χ0，y0)可偏导是函数z＝f(χ，y)在点(χ0，y0)连续的()．

半径为2的球体盛满水，求将水从球顶部全部抽出所做的功．

计算下列积分：

设z＝，其中f，g二阶可导，证明：＝0．

设f(χ)在[0，]上连续，在(0，)内可导，证明：存在ξ，η(0，)，使得

设f(χ)在[a，b]上二阶可导且f〞(χ)＞0，证明：f(χ)在(a，b)内为凹函数．

设f(x)=,求f(x)的间断点并判断其类型。

出生时味觉发育已很完善；()个月时甚至对食物轻微的味道改变已很敏感，为味觉发育()，此期应适时引入各类食物。

下列关于我国法的效力层次的表述，正确的是()。

Withanappropriateconjunct:I’mafraidhehasnochoicebuttodoasheistold,_______,hegetssacked.

19世纪末，对历史法学提出批判指责的有

下列关于脂酸合成的叙述不正确的是

(2009年考试真题)企业持有的证券投资基金通常划分为交易性金融资产，不应划分为贷款和应收款项。()

鸦片战争后，中国逐步被卷入资本主义世界市场。得出该结论的主要依据不包括()。

Willrobotstakeovertheworkforce?Andiftheydo,whatjobswillbeleftforushumans?Manydiscussionstakea【C1】______view