2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，计算二重积分I=xyfxy’’(x，y)dxdy。

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，计算二重积分I=xyfxy’’(x，y)dxdy。

admin2021-11-09  50
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，计算二重积分I=xyfxy’’(x，y)dxdy。
选项
答案将二重积分[*]xyfxy’’(x，y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyfxy’’(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyfxy’’(x，y)dx。 首先考虑∫01xyfxy’’(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫01xyfxy’’(x，y)dx=y∫01xdfy’(x，y) =xyfy’(x，y)｜01－∫01yfy’(x，y)dx =yfy’(1，y)一∫01yfy’(x，y)dx。 由f(1，y)=f(x，1)=0易知，fy’(1，y)=fx’(x，1)=0。所以 ∫01xyfxy’’(x，y)dx=一∫01yfy’(x，y)dx。 因此 [*]xyfxy’’(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyfxy’’(x，y)dx=一∫01dy∫01yfy’(x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得， 一∫01dy∫01yfy’(x，y)dx=一∫01dx∫01yfy’(x，y)dy。 再考虑积分∫01yfy’(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫01yfy’(x，y)dy=∫01ydf(x，y) =yf(x，y)｜01一∫01f(x，y)dy =一∫01f(x，y)dy， 因此[*]xyfxy’’(x，y)dxdy=一∫01dx∫01yfy’(x，y)dy =∫01dx∫01f(x，y)dy =[*]f(x，y)dxdy=a。
解析
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考研数学二

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